MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnfre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnfre 24005
Description: The 𝑁-th derivative of a real function is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvnfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)

Proof of Theorem dvnfre
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0))
21dmeqd 5493 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0))
31, 2feq12d 6210 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ))
43imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ)))
5 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))
65dmeqd 5493 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))
75, 6feq12d 6210 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ))
87imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)))
9 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
109dmeqd 5493 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
119, 10feq12d 6210 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ))
1211imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
13 fveq2 6374 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1413dmeqd 5493 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥) = dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1513, 14feq12d 6210 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
1615imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑥)⟶ℝ) ↔ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)))
17 simpl 474 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 ax-resscn 10245 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
19 fss 6235 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2018, 19mpan2 682 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21 cnex 10269 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
22 reex 10279 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
23 elpm2r 8077 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2421, 22, 23mpanl12 693 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
2520, 24sylan 575 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
26 dvn0 23977 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
2718, 25, 26sylancr 581 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
2827dmeqd 5493 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
29 fdm 6230 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3029adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
3128, 30eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
3227, 31feq12d 6210 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℝ))
3317, 32mpbird 248 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘0)⟶ℝ)
34 simprr 789 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)
3522prid1 4451 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3725adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
38 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
39 dvnbss 23981 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ dom 𝐹)
4130adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4240, 41sseqtrd 3800 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ 𝐴)
43 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4442, 43sstrd 3770 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ ℝ)
45 dvfre 24004 . . . . . . . . 9 ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ ∧ dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛) ⊆ ℝ) → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ)
4634, 44, 45syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ)
4718a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ℝ ⊆ ℂ)
48 dvnp1 23978 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
4947, 37, 38, 48syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
5049dmeqd 5493 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
5149, 50feq12d 6210 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ ↔ (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)):dom (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛))⟶ℝ))
5246, 51mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)
5352expr 448 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ))
5453expcom 402 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
5554a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑛)⟶ℝ) → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1)):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑛 + 1))⟶ℝ)))
564, 8, 12, 16, 33, 55nn0ind 11718 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
5756com12 32 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ))
58573impia 1145 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3349  wss 3731  {cpr 4335  dom cdm 5276  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  pm cpm 8060  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191  0cn0 11537   D cdv 23917   D𝑛 cdvn 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-icc 12383  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-rest 16350  df-topn 16351  df-topgen 16371  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-lp 21219  df-perf 21220  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-haus 21398  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-xms 22403  df-ms 22404  df-cncf 22959  df-limc 23920  df-dv 23921  df-dvn 23922
This theorem is referenced by:  taylthlem2  24418
  Copyright terms: Public domain W3C validator