MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumge 26063
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumleOLD.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumleOLD.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumleOLD.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumleOLD.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumleOLD.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumleOLD.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumleOLD.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumge.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumge (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumleOLD.m . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 df-neg 11496 . . . . . 6 -𝐴 = (0 − 𝐴)
32mpteq2i 5246 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴))
4 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54subcn 24889 . . . . . 6 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6 0red 11265 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7 eluzel2 12884 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98zred 12724 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelz 12889 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211zred 12724 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
13 iccssre 13470 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
149, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
15 ax-resscn 11213 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstrdi 3995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
1715a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18 cncfmptc 24939 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
196, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
20 dvfsumleOLD.a . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
21 resubcl 11574 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 24943 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
233, 22eqeltrid 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
24 negex 11507 . . . . 5 -𝐵 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → -𝐵 ∈ V)
26 reelprrecn 11248 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 ioossicc 13474 . . . . . . . 8 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
2928sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
30 cncff 24920 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3120, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3231fvmptelcdm 7132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3329, 32sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3433recnd 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
35 dvfsumleOLD.v . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
36 dvfsumleOLD.b . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
3727, 34, 35, 36dvmptneg 26005 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐵))
38 dvfsumleOLD.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
3938negeqd 11503 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐶)
40 dvfsumleOLD.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
4140negeqd 11503 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐷)
42 dvfsumleOLD.x . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4342renegcld 11691 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → -𝑋 ∈ ℝ)
44 dvfsumge.l . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
459adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4645rexrd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
47 elfzole1 13708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
49 iooss1 13423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5046, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5112adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5251rexrd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
53 fzofzp1 13804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
55 elfzle2 13569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
57 iooss2 13424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
5852, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
5950, 58sstrd 3993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6059sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁))
6132adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6229, 61sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6362fmpttd 7134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
64 ioossre 13449 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
65 dvfre 25990 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
6663, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
6736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
6867dmeqd 5915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
6935adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
7069ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
71 dmmptg 6261 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7368, 72eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
7467, 73feq12d 6723 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
7566, 74mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
7675fvmptelcdm 7132 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7760, 76syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
7877anasss 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
7942adantrr 717 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8078, 79lenegd 11843 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (𝐵𝑋 ↔ -𝑋 ≤ -𝐵))
8144, 80mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → -𝑋 ≤ -𝐵)
821, 23, 25, 37, 39, 41, 43, 81dvfsumle 26061 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 ≤ (-𝐷 − -𝐶))
83 fzofi 14016 . . . . 5 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
8483a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8542recnd 11290 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
8684, 85fsumneg 15824 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
8740eleq1d 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐷 ∈ ℝ))
88 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
8988fmpt 7129 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
9031, 89sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
919rexrd 11312 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
9212rexrd 11312 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
93 eluzle 12892 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
941, 93syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑁)
95 ubicc2 13506 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9691, 92, 94, 95syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9787, 90, 96rspcdva 3622 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
9897recnd 11290 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9938eleq1d 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
100 lbicc2 13505 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10191, 92, 94, 100syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10299, 90, 101rspcdva 3622 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
103102recnd 11290 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
10498, 103neg2subd 11638 . . . 4 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = (𝐶𝐷))
10598, 103negsubdi2d 11637 . . . 4 (𝜑 → -(𝐷𝐶) = (𝐶𝐷))
106104, 105eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = -(𝐷𝐶))
10782, 86, 1063brtr3d 5173 . 2 (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶))
10897, 102resubcld 11692 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
10984, 42fsumrecl 15771 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ∈ ℝ)
110108, 109lenegd 11843 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ↔ -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶)))
111107, 110mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  wss 3950  {cpr 4627   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  *cxr 11295  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494  cz 12615  cuz 12879  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  Σcsu 15723  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365  cnccncf 24903   D cdv 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator