MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumge 24222
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumle.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumle.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumge.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumge (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 df-neg 10609 . . . . . 6 -𝐴 = (0 − 𝐴)
32mpteq2i 4976 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴))
4 eqid 2778 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54subcn 23077 . . . . . 6 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6 0red 10380 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7 eluzel2 11997 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98zred 11834 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelz 12002 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211zred 11834 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
13 iccssre 12567 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
149, 12, 13syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
15 ax-resscn 10329 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15syl6ss 3833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
1715a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
18 cncfmptc 23122 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
196, 16, 17, 18syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
20 dvfsumle.a . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
21 resubcl 10687 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 − 𝐴) ∈ ℝ)
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 23126 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
233, 22syl5eqel 2863 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
24 negex 10620 . . . . 5 -𝐵 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → -𝐵 ∈ V)
26 reelprrecn 10364 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 ioossicc 12571 . . . . . . . 8 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
2928sseli 3817 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
30 cncff 23104 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3120, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
32 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
3332fmpt 6644 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
3431, 33sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
3534r19.21bi 3114 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3629, 35sylan2 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3736recnd 10405 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
38 dvfsumle.v . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
39 dvfsumle.b . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
4027, 37, 38, 39dvmptneg 24166 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐵))
41 dvfsumle.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
4241negeqd 10616 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → -𝐴 = -𝐶)
43 dvfsumle.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
4443negeqd 10616 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → -𝐴 = -𝐷)
45 dvfsumle.x . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4645renegcld 10802 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → -𝑋 ∈ ℝ)
47 dvfsumge.l . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵𝑋)
489adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4948rexrd 10426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
50 elfzole1 12797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
5150adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
52 iooss1 12522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5349, 51, 52syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
5412adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554rexrd 10426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
56 fzofzp1 12884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5756adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
58 elfzle2 12662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
60 iooss2 12523 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6155, 59, 60syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6253, 61sstrd 3831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
6362sselda 3821 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁))
6435adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6529, 64sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6665fmpttd 6649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
67 ioossre 12547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
68 dvfre 24151 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
6966, 67, 68sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
7039adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7170dmeqd 5571 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
7238adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
7372ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
74 dmmptg 5886 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
7671, 75eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
7770, 76feq12d 6279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
7869, 77mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
79 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
8079fmpt 6644 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
8178, 80sylibr 226 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
8281r19.21bi 3114 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8363, 82syldan 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8483anasss 460 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
8545adantrr 707 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8684, 85lenegd 10954 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (𝐵𝑋 ↔ -𝑋 ≤ -𝐵))
8747, 86mpbid 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → -𝑋 ≤ -𝐵)
881, 23, 25, 40, 42, 44, 46, 87dvfsumle 24221 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 ≤ (-𝐷 − -𝐶))
89 fzofi 13092 . . . . 5 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
9089a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
9145recnd 10405 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
9290, 91fsumneg 14923 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 = -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
9343eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐷 ∈ ℝ))
949rexrd 10426 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
9512rexrd 10426 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
96 eluzle 12005 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
971, 96syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑁)
98 ubicc2 12603 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9994, 95, 97, 98syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10093, 34, 99rspcdva 3517 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
101100recnd 10405 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
10241eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
103 lbicc2 12602 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10494, 95, 97, 103syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
105102, 34, 104rspcdva 3517 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
106105recnd 10405 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
107101, 106neg2subd 10751 . . . 4 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = (𝐶𝐷))
108101, 106negsubdi2d 10750 . . . 4 (𝜑 → -(𝐷𝐶) = (𝐶𝐷))
109107, 108eqtr4d 2817 . . 3 (𝜑 → (-𝐷 − -𝐶) = -(𝐷𝐶))
11088, 92, 1093brtr3d 4917 . 2 (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶))
111100, 105resubcld 10803 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
11290, 45fsumrecl 14872 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ∈ ℝ)
113111, 112lenegd 10954 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ↔ -Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ -(𝐷𝐶)))
114110, 113mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  Vcvv 3398  wss 3792  {cpr 4400   class class class wbr 4886  cmpt 4965  dom cdm 5355  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  *cxr 10410  cle 10412  cmin 10606  -cneg 10607  cz 11728  cuz 11992  (,)cioo 12487  [,]cicc 12490  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  Σcsu 14824  TopOpenctopn 16468  fldccnfld 20142  cnccncf 23087   D cdv 24064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator