MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumge 25530
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
dvfsumle.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsumle.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvfsumle.c (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
dvfsumle.d (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumge.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumge (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumle.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 df-neg 11443 . . . . . 6 -𝐴 = (0 βˆ’ 𝐴)
32mpteq2i 5252 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 βˆ’ 𝐴))
4 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54subcn 24373 . . . . . 6 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6 0red 11213 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7 eluzel2 12823 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
98zred 12662 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1211zred 12662 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
13 iccssre 13402 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
149, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
15 ax-resscn 11163 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1614, 15sstrdi 3993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚)
1715a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
18 cncfmptc 24419 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
196, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
20 dvfsumle.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
21 resubcl 11520 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 24423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
233, 22eqeltrid 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
24 negex 11454 . . . . 5 -𝐡 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ -𝐡 ∈ V)
26 reelprrecn 11198 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2726a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
28 ioossicc 13406 . . . . . . . 8 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
2928sseli 3977 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
30 cncff 24400 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
3120, 30syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
3231fvmptelcdm 7109 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3329, 32sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3433recnd 11238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
35 dvfsumle.v . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
36 dvfsumle.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
3727, 34, 35, 36dvmptneg 25474 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐡))
38 dvfsumle.c . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
3938negeqd 11450 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ -𝐴 = -𝐢)
40 dvfsumle.d . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
4140negeqd 11450 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ -𝐴 = -𝐷)
42 dvfsumle.x . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4342renegcld 11637 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ -𝑋 ∈ ℝ)
44 dvfsumge.l . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ≀ 𝑋)
459adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4645rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
47 elfzole1 13636 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
49 iooss1 13355 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
5046, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
5112adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5251rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
53 fzofzp1 13725 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
55 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
57 iooss2 13356 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
5852, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
5950, 58sstrd 3991 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
6059sselda 3981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁))
6132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6229, 61sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6362fmpttd 7111 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
64 ioossre 13381 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
65 dvfre 25459 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
6663, 64, 65sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
6736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
6867dmeqd 5903 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
6935adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
7069ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉)
71 dmmptg 6238 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
7368, 72eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
7467, 73feq12d 6702 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
7566, 74mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
7675fvmptelcdm 7109 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7760, 76syldan 591 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7877anasss 467 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7942adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
8078, 79lenegd 11789 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝐡 ≀ 𝑋 ↔ -𝑋 ≀ -𝐡))
8144, 80mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ -𝑋 ≀ -𝐡)
821, 23, 25, 37, 39, 41, 43, 81dvfsumle 25529 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 ≀ (-𝐷 βˆ’ -𝐢))
83 fzofi 13935 . . . . 5 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
8483a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8542recnd 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8684, 85fsumneg 15729 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 = -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
8740eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐷 ∈ ℝ))
88 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
8988fmpt 7106 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
9031, 89sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
919rexrd 11260 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
9212rexrd 11260 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
93 eluzle 12831 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
941, 93syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
95 ubicc2 13438 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9691, 92, 94, 95syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9787, 90, 96rspcdva 3613 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
9897recnd 11238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
9938eleq1d 2818 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
100 lbicc2 13437 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10191, 92, 94, 100syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10299, 90, 101rspcdva 3613 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
103102recnd 11238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
10498, 103neg2subd 11584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-𝐷 βˆ’ -𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
10598, 103negsubdi2d 11583 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
106104, 105eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (-𝐷 βˆ’ -𝐢) = -(𝐷 βˆ’ 𝐢))
10782, 86, 1063brtr3d 5178 . 2 (πœ‘ β†’ -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ -(𝐷 βˆ’ 𝐢))
10897, 102resubcld 11638 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
10984, 42fsumrecl 15676 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ∈ ℝ)
110108, 109lenegd 11789 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ↔ -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ -(𝐷 βˆ’ 𝐢)))
111107, 110mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  Ξ£csu 15628  TopOpenctopn 17363  β„‚fldccnfld 20936  β€“cnβ†’ccncf 24383   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator