MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumge 25984
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumleOLD.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
dvfsumleOLD.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumleOLD.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsumleOLD.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvfsumleOLD.c (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
dvfsumleOLD.d (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
dvfsumleOLD.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumge.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumge (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumleOLD.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 df-neg 11487 . . . . . 6 -𝐴 = (0 βˆ’ 𝐴)
32mpteq2i 5257 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 βˆ’ 𝐴))
4 eqid 2728 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54subcn 24810 . . . . . 6 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6 0red 11257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7 eluzel2 12867 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
98zred 12706 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelz 12872 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1211zred 12706 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
13 iccssre 13448 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
149, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
15 ax-resscn 11205 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1614, 15sstrdi 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚)
1715a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
18 cncfmptc 24860 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
196, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
20 dvfsumleOLD.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
21 resubcl 11564 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 24864 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
233, 22eqeltrid 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
24 negex 11498 . . . . 5 -𝐡 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ -𝐡 ∈ V)
26 reelprrecn 11240 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2726a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
28 ioossicc 13452 . . . . . . . 8 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
2928sseli 3978 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
30 cncff 24841 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
3120, 30syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
3231fvmptelcdm 7128 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3329, 32sylan2 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3433recnd 11282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
35 dvfsumleOLD.v . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
36 dvfsumleOLD.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
3727, 34, 35, 36dvmptneg 25926 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐡))
38 dvfsumleOLD.c . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
3938negeqd 11494 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ -𝐴 = -𝐢)
40 dvfsumleOLD.d . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
4140negeqd 11494 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ -𝐴 = -𝐷)
42 dvfsumleOLD.x . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4342renegcld 11681 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ -𝑋 ∈ ℝ)
44 dvfsumge.l . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ≀ 𝑋)
459adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4645rexrd 11304 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
47 elfzole1 13682 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
4847adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
49 iooss1 13401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
5046, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
5112adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5251rexrd 11304 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
53 fzofzp1 13771 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5453adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
55 elfzle2 13547 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
57 iooss2 13402 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
5852, 56, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
5950, 58sstrd 3992 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
6059sselda 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁))
6132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6229, 61sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6362fmpttd 7130 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
64 ioossre 13427 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
65 dvfre 25911 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
6663, 64, 65sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
6736adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
6867dmeqd 5912 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
6935adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
7069ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉)
71 dmmptg 6251 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
7368, 72eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
7467, 73feq12d 6715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
7566, 74mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
7675fvmptelcdm 7128 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7760, 76syldan 589 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7877anasss 465 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7942adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
8078, 79lenegd 11833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝐡 ≀ 𝑋 ↔ -𝑋 ≀ -𝐡))
8144, 80mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ -𝑋 ≀ -𝐡)
821, 23, 25, 37, 39, 41, 43, 81dvfsumle 25982 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 ≀ (-𝐷 βˆ’ -𝐢))
83 fzofi 13981 . . . . 5 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
8483a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8542recnd 11282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8684, 85fsumneg 15775 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 = -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
8740eleq1d 2814 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐷 ∈ ℝ))
88 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
8988fmpt 7125 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
9031, 89sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
919rexrd 11304 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
9212rexrd 11304 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
93 eluzle 12875 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
941, 93syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
95 ubicc2 13484 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9691, 92, 94, 95syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9787, 90, 96rspcdva 3612 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
9897recnd 11282 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
9938eleq1d 2814 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
100 lbicc2 13483 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10191, 92, 94, 100syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10299, 90, 101rspcdva 3612 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
103102recnd 11282 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
10498, 103neg2subd 11628 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-𝐷 βˆ’ -𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
10598, 103negsubdi2d 11627 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
106104, 105eqtr4d 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (-𝐷 βˆ’ -𝐢) = -(𝐷 βˆ’ 𝐢))
10782, 86, 1063brtr3d 5183 . 2 (πœ‘ β†’ -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ -(𝐷 βˆ’ 𝐢))
10897, 102resubcld 11682 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
10984, 42fsumrecl 15722 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ∈ ℝ)
110108, 109lenegd 11833 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ↔ -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ -(𝐷 βˆ’ 𝐢)))
111107, 110mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {cpr 4634   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151  β„*cxr 11287   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  -cneg 11485  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  (,)cioo 13366  [,]cicc 13369  ...cfz 13526  ..^cfzo 13669  Ξ£csu 15674  TopOpenctopn 17412  β„‚fldccnfld 21293  β€“cnβ†’ccncf 24824   D cdv 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-cmp 23319  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator