MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumge 25911
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumleOLD.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
dvfsumleOLD.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumleOLD.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsumleOLD.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvfsumleOLD.c (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
dvfsumleOLD.d (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
dvfsumleOLD.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumge.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ≀ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvfsumge (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumge
StepHypRef Expression
1 dvfsumleOLD.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 df-neg 11451 . . . . . 6 -𝐴 = (0 βˆ’ 𝐴)
32mpteq2i 5246 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 βˆ’ 𝐴))
4 eqid 2726 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54subcn 24737 . . . . . 6 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6 0red 11221 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
7 eluzel2 12831 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
98zred 12670 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1211zred 12670 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
13 iccssre 13412 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
149, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
15 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1614, 15sstrdi 3989 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚)
1715a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
18 cncfmptc 24787 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
196, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 0) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
20 dvfsumleOLD.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
21 resubcl 11528 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
224, 5, 19, 20, 15, 21cncfmpt2ss 24791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (0 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
233, 22eqeltrid 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ -𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
24 negex 11462 . . . . 5 -𝐡 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ -𝐡 ∈ V)
26 reelprrecn 11204 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2726a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
28 ioossicc 13416 . . . . . . . 8 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
2928sseli 3973 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
30 cncff 24768 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
3120, 30syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
3231fvmptelcdm 7108 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3329, 32sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3433recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
35 dvfsumleOLD.v . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
36 dvfsumleOLD.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
3727, 34, 35, 36dvmptneg 25853 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ -𝐡))
38 dvfsumleOLD.c . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
3938negeqd 11458 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ -𝐴 = -𝐢)
40 dvfsumleOLD.d . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
4140negeqd 11458 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ -𝐴 = -𝐷)
42 dvfsumleOLD.x . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4342renegcld 11645 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ -𝑋 ∈ ℝ)
44 dvfsumge.l . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ≀ 𝑋)
459adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4645rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
47 elfzole1 13646 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
49 iooss1 13365 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
5046, 48, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
5112adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5251rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
53 fzofzp1 13735 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
55 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
57 iooss2 13366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
5852, 56, 57syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
5950, 58sstrd 3987 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
6059sselda 3977 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁))
6132adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6229, 61sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6362fmpttd 7110 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
64 ioossre 13391 . . . . . . . . . . 11 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
65 dvfre 25838 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
6663, 64, 65sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
6736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
6867dmeqd 5899 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
6935adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
7069ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉)
71 dmmptg 6235 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
7368, 72eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
7467, 73feq12d 6699 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
7566, 74mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
7675fvmptelcdm 7108 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7760, 76syldan 590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7877anasss 466 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7942adantrr 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
8078, 79lenegd 11797 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝐡 ≀ 𝑋 ↔ -𝑋 ≀ -𝐡))
8144, 80mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ -𝑋 ≀ -𝐡)
821, 23, 25, 37, 39, 41, 43, 81dvfsumle 25909 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 ≀ (-𝐷 βˆ’ -𝐢))
83 fzofi 13945 . . . . 5 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
8483a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8542recnd 11246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
8684, 85fsumneg 15739 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)-𝑋 = -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
8740eleq1d 2812 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐷 ∈ ℝ))
88 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
8988fmpt 7105 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
9031, 89sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
919rexrd 11268 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
9212rexrd 11268 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
93 eluzle 12839 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
941, 93syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
95 ubicc2 13448 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9691, 92, 94, 95syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀[,]𝑁))
9787, 90, 96rspcdva 3607 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
9897recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
9938eleq1d 2812 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
100 lbicc2 13447 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10191, 92, 94, 100syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀[,]𝑁))
10299, 90, 101rspcdva 3607 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
103102recnd 11246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
10498, 103neg2subd 11592 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-𝐷 βˆ’ -𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
10598, 103negsubdi2d 11591 . . . 4 (πœ‘ β†’ -(𝐷 βˆ’ 𝐢) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
106104, 105eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (-𝐷 βˆ’ -𝐢) = -(𝐷 βˆ’ 𝐢))
10782, 86, 1063brtr3d 5172 . 2 (πœ‘ β†’ -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ -(𝐷 βˆ’ 𝐢))
10897, 102resubcld 11646 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
10984, 42fsumrecl 15686 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ∈ ℝ)
110108, 109lenegd 11797 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ↔ -Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ -(𝐷 βˆ’ 𝐢)))
111107, 110mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐢) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  Ξ£csu 15638  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  β€“cnβ†’ccncf 24751   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator