Theorem xlimxrre 45787

Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimxrre.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimxrre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimxrre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimxrre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
2	1	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
3	2	ralimi 3081	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
5		xlimxrre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	ffund 6741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
7		ffvresb 7145	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
11	10	adantrl 716	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
12		xlimxrre.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		peano2rem 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
16		peano2re 11432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	12, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
19	12	ltm1d 12198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
20	12	ltp1d 12196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))
21	15, 18, 12, 19, 20	eliood 45451	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))
22		iooordt 23241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
23		xlimxrre.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
24		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
25		xlimxrre.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26		xlimxrre.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
27		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28	24, 25, 26, 5, 27	xlimbr 45783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
30	29	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31		eleq2 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
32		eleq2 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
33	32	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
34	33	rexralbidv 3221	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
35	31, 34	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))))
36	35	rspcva 3620	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
37	22, 30, 36	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
38	21, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
39	11, 38	reximddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  dom cdm 5689   ↾ cres 5691  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  (,)cioo 13384  ordTopcordt 17546  ~~>*clsxlim 45774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-lm 23253  df-xlim 45775

This theorem is referenced by:  xlimclim2  45796  xlimliminflimsup  45818