Theorem xlimxrre 45802

Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimxrre.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimxrre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimxrre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimxrre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
2	1	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
3	2	ralimi 3066	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
5		xlimxrre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	ffund 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
7		ffvresb 7079	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
11	10	adantrl 716	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
12		xlimxrre.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		peano2rem 11465	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
16		peano2re 11323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	12, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
19	12	ltm1d 12091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
20	12	ltp1d 12089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))
21	15, 18, 12, 19, 20	eliood 45469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))
22		iooordt 23080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
23		xlimxrre.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
24		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
25		xlimxrre.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26		xlimxrre.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
27		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28	24, 25, 26, 5, 27	xlimbr 45798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
30	29	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31		eleq2 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
32		eleq2 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
33	32	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
34	33	rexralbidv 3201	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
35	31, 34	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))))
36	35	rspcva 3583	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
37	22, 30, 36	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
38	21, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
39	11, 38	reximddv 3149	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  (,)cioo 13282  ordTopcordt 17438  ~~>*clsxlim 45789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-topgen 17382  df-ordt 17440  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-lm 23092  df-xlim 45790

This theorem is referenced by:  xlimclim2  45811  xlimliminflimsup  45833