Theorem xlimxrre 42119

Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimxrre.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimxrre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimxrre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimxrre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
2	1	anim2i 618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
3	2	ralimi 3162	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
4	3	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
5		xlimxrre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	ffund 6520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
7		ffvresb 6890	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
10	4, 9	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
11	10	adantrl 714	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
12		xlimxrre.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		peano2rem 10955	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 10693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
16		peano2re 10815	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	12, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
19	12	ltm1d 11574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
20	12	ltp1d 11572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))
21	15, 18, 12, 19, 20	eliood 41780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))
22		iooordt 21827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
23		xlimxrre.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
24		nfcv 2979	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
25		xlimxrre.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26		xlimxrre.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
27		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28	24, 25, 26, 5, 27	xlimbr 42115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
29	23, 28	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
30	29	simprd 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31		eleq2 2903	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
32		eleq2 2903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
33	32	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
34	33	rexralbidv 3303	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
35	31, 34	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))))
36	35	rspcva 3623	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
37	22, 30, 36	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
38	21, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
39	11, 38	reximddv 3277	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  Fun wfun 6351  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  1c1 10540   + caddc 10542  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  (,)cioo 12741  ordTopcordt 16774  ~~>*clsxlim 42106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-topgen 16719  df-ordt 16776  df-ps 17812  df-tsr 17813  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-lm 21839  df-xlim 42107

This theorem is referenced by:  xlimclim2  42128  xlimliminflimsup  42150