Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimxrre 40853
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimxrre.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimxrre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimxrre.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimxrre.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimxrre (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre
Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12494 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
21anim2i 612 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
32ralimi 3162 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
43adantl 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
5 xlimxrre.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
65ffund 6283 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐹)
7 ffvresb 6644 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
98adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
104, 9mpbird 249 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
1110adantrl 709 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
12 xlimxrre.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 peano2rem 10670 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1514rexrd 10407 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
16 peano2re 10529 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1712, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1817rexrd 10407 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
1912ltm1d 11287 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
2012ltp1d 11285 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
2115, 18, 12, 19, 20eliood 40520 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))
22 iooordt 21393 . . . 4 ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
23 xlimxrre.c . . . . . 6 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
24 nfcv 2970 . . . . . . 7 𝑘𝐹
25 xlimxrre.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
26 xlimxrre.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
27 eqid 2826 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
2824, 25, 26, 5, 27xlimbr 40849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
2923, 28mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3029simprd 491 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
31 eleq2 2896 . . . . . 6 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐴𝑢𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
32 eleq2 2896 . . . . . . . 8 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
3332anbi2d 624 . . . . . . 7 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3433rexralbidv 3269 . . . . . 6 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3531, 34imbi12d 336 . . . . 5 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))))
3635rspcva 3525 . . . 4 ((((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3722, 30, 36sylancr 583 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3821, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
3911, 38reximddv 3227 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  wrex 3119   class class class wbr 4874  dom cdm 5343  cres 5345  Fun wfun 6118  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cr 10252  1c1 10254   + caddc 10256  *cxr 10391  cle 10393  cmin 10586  cz 11705  cuz 11969  (,)cioo 12464  ordTopcordt 16513  ~~>*clsxlim 40840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-topgen 16458  df-ordt 16515  df-ps 17554  df-tsr 17555  df-top 21070  df-topon 21087  df-bases 21122  df-lm 21405  df-xlim 40841
This theorem is referenced by:  xlimclim2  40862
  Copyright terms: Public domain W3C validator