Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimxrre 44158
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ β„‚ and -∞ ∈ β„‚). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimxrre.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimxrre.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimxrre.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimxrre.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimxrre (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   πœ‘,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre
Dummy variables π‘˜ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 13300 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21anim2i 618 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1))) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
32ralimi 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
43adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
5 xlimxrre.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
65ffund 6673 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
7 ffvresb 7073 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
104, 9mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
1110adantrl 715 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1))))) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
12 xlimxrre.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
13 peano2rem 11473 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
1514rexrd 11210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
16 peano2re 11333 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1712, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1817rexrd 11210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
1912ltm1d 12092 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) < 𝐴)
2012ltp1d 12090 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (𝐴 + 1))
2115, 18, 12, 19, 20eliood 43822 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))
22 iooordt 22584 . . . 4 ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
23 xlimxrre.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*𝐴)
24 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜πΉ
25 xlimxrre.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
26 xlimxrre.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
27 eqid 2733 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
2824, 25, 26, 5, 27xlimbr 44154 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
2923, 28mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
3029simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
31 eleq2 2823 . . . . . 6 (𝑒 = ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 ↔ 𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1))))
32 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (𝑒 = ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1))))
3332anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑒 = ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3433rexralbidv 3211 . . . . . 6 (𝑒 = ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3531, 34imbi12d 345 . . . . 5 (𝑒 = ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1))))))
3635rspcva 3578 . . . 4 ((((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3722, 30, 36sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3821, 37mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((𝐴 βˆ’ 1)(,)(𝐴 + 1))))
3911, 38reximddv 3165 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  (,)cioo 13270  ordTopcordt 17386  ~~>*clsxlim 44145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-lm 22596  df-xlim 44146
This theorem is referenced by:  xlimclim2  44167  xlimliminflimsup  44189
  Copyright terms: Public domain W3C validator