Theorem xlimxrre 45752

Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimxrre.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimxrre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimxrre.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimxrre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c	⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xlimxrre	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
2	1	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
3	2	ralimi 3089	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
5		xlimxrre.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	5	ffund 6751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
7		ffvresb 7159	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)))
10	4, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
11	10	adantrl 715	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)
12		xlimxrre.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		peano2rem 11603	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
16		peano2re 11463	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
17	12, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
19	12	ltm1d 12227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
20	12	ltp1d 12225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))
21	15, 18, 12, 19, 20	eliood 45416	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))
22		iooordt 23246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
23		xlimxrre.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*𝐴)
24		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
25		xlimxrre.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26		xlimxrre.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
27		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28	24, 25, 26, 5, 27	xlimbr 45748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
30	29	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31		eleq2 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐴 ∈ 𝑢 ↔ 𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
32		eleq2 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
33	32	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
34	33	rexralbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
35	31, 34	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))))
36	35	rspcva 3633	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
37	22, 30, 36	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
38	21, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
39	11, 38	reximddv 3177	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  (,)cioo 13407  ordTopcordt 17559  ~~>*clsxlim 45739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-lm 23258  df-xlim 45740

This theorem is referenced by:  xlimclim2  45761  xlimliminflimsup  45783