Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimxrre 42102
Description: If a sequence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued (the weaker hypothesis 𝐹 ∈ dom ⇝ is probably not enough, since in principle we could have +∞ ∈ ℂ and -∞ ∈ ℂ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimxrre.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimxrre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimxrre.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimxrre.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xlimxrre.c (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimxrre (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗

Proof of Theorem xlimxrre
Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12760 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
21anim2i 618 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
32ralimi 3158 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
43adantl 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
5 xlimxrre.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
65ffund 6511 . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐹)
7 ffvresb 6881 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
98adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ)))
104, 9mpbird 259 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
1110adantrl 714 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
12 xlimxrre.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 peano2rem 10945 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
1514rexrd 10683 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ*)
16 peano2re 10805 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1712, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
1817rexrd 10683 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ*)
1912ltm1d 11564 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)
2012ltp1d 11562 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 1))
2115, 18, 12, 19, 20eliood 41763 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))
22 iooordt 21817 . . . 4 ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
23 xlimxrre.c . . . . . 6 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
24 nfcv 2975 . . . . . . 7 𝑘𝐹
25 xlimxrre.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
26 xlimxrre.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
27 eqid 2819 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
2824, 25, 26, 5, 27xlimbr 42098 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
2923, 28mpbid 234 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3029simprd 498 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
31 eleq2 2899 . . . . . 6 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (𝐴𝑢𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
32 eleq2 2899 . . . . . . . 8 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
3332anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3433rexralbidv 3299 . . . . . 6 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3531, 34imbi12d 347 . . . . 5 (𝑢 = ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ((𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))))
3635rspcva 3619 . . . 4 ((((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝐴𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3722, 30, 36sylancr 589 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1)))))
3821, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 − 1)(,)(𝐴 + 1))))
3911, 38reximddv 3273 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  wrex 3137   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cres 5550  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532  *cxr 10666  cle 10668  cmin 10862  cz 11973  cuz 12235  (,)cioo 12730  ordTopcordt 16764  ~~>*clsxlim 42089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-lm 21829  df-xlim 42090
This theorem is referenced by:  xlimclim2  42111  xlimliminflimsup  42133
  Copyright terms: Public domain W3C validator