Theorem rpsqrtcn 34571

Description: Continuity of the real positive square root function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rpsqrtcn	⊢ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+)

Proof of Theorem rpsqrtcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13014	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3968	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
4		sqrtf 15380	. . . . . . . 8 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
5		fdm 6714	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → dom √ = ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom √ = ℂ
7	3, 6	sseqtrri 4008	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ dom √
8	7	sseli 3954	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ dom √)
9		rpsqrtcl 15281	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
10	8, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+))
11	10	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
12		ffun 6708	. . . . 5 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → Fun √)
13	4, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun √
14		ffvresb 7114	. . . 4 ⊢ (Fun √ → ((√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+)))
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+))
16	11, 15	mpbir 231	. 2 ⊢ (√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+
17		ioorp 13440	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
18		ioossico 13453	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
19	17, 18	eqsstrri 4006	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
20		resabs1 5993	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) = (√ ↾ ℝ+))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) = (√ ↾ ℝ+)
22		resqrtcn 26709	. . . . 5 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
23		rescncf 24839	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)))
24	19, 22, 23	mp2 9	. . . 4 ⊢ ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
25	21, 24	eqeltrri 2831	. . 3 ⊢ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
26		cncfcdm 24840	. . 3 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)) → ((√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+) ↔ (√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+))
27	3, 25, 26	mp2an 692	. 2 ⊢ ((√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+) ↔ (√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+)
28	16, 27	mpbir 231	1 ⊢ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11264  ℝ⁺crp 13006  (,)cioo 13360  [,)cico 13362  √csqrt 15250  –cn→ccncf 24818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-tan 16085  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-cmp 23323  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818  df-log 26515  df-cxp 26516

This theorem is referenced by: (None)