Theorem rpsqrtcn 31477

Description: Continuity of the real positive square root function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rpsqrtcn	⊢ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+)

Proof of Theorem rpsqrtcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12250	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		ax-resscn 10447	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3904	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
4		sqrtf 14561	. . . . . . . 8 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
5		fdm 6397	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → dom √ = ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom √ = ℂ
7	3, 6	sseqtr4i 3931	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ dom √
8	7	sseli 3891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ dom √)
9		rpsqrtcl 14462	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
10	8, 9	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+))
11	10	rgen 3117	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
12		ffun 6392	. . . . 5 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → Fun √)
13	4, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun √
14		ffvresb 6758	. . . 4 ⊢ (Fun √ → ((√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+)))
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom √ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+))
16	11, 15	mpbir 232	. 2 ⊢ (√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+
17		ioorp 12668	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
18		ioossico 12680	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
19	17, 18	eqsstrri 3929	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,)+∞)
20		resabs1 5771	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) = (√ ↾ ℝ+))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) = (√ ↾ ℝ+)
22		resqrtcn 25015	. . . . 5 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
23		rescncf 23192	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) → ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)))
24	19, 22, 23	mp2 9	. . . 4 ⊢ ((√ ↾ (0[,)+∞)) ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
25	21, 24	eqeltrri 2882	. . 3 ⊢ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
26		cncffvrn 23193	. . 3 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)) → ((√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+) ↔ (√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+))
27	3, 25, 26	mp2an 688	. 2 ⊢ ((√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+) ↔ (√ ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ+)
28	16, 27	mpbir 232	1 ⊢ (√ ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ+)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ⊆ wss 3865  dom cdm 5450   ↾ cres 5452  Fun wfun 6226  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  ℝcr 10389  0cc0 10390  +∞cpnf 10525  ℝ⁺crp 12243  (,)cioo 12592  [,)cico 12594  √csqrt 14430  –cn→ccncf 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-tan 15262  df-pi 15263  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825  df-cxp 24826

This theorem is referenced by: (None)