Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem97 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem97 46158
Description: 𝐹 is continuous on the intervals induced by the moved partition 𝑉. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem97.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem97.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem97.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem97.a (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem97.b (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem97.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem97.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem97.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem97.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem97.qcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem97.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem97.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem97.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
fourierdlem97.v 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem97.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem97 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑦,𝐶,𝑔   𝐶,𝑖,𝑥,𝑦   𝐶,𝑚,𝑝,𝑦   𝑦,𝐷,𝑔   𝐷,𝑖,𝑥   𝐷,𝑚,𝑝   𝐹,𝑠,𝑥   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑠   𝑦,𝐺   𝑖,𝐻,𝑠,𝑥   ,𝐽,𝑘,𝑖,𝑥   𝐽,𝑠   ,𝑀,𝑖,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑀,𝑠   𝑄,,𝑘,𝑔,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝,𝑘   𝑄,𝑠   𝑇,,𝑘,𝑔,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑇,𝑠   ,𝑉,𝑘,𝑔   𝑖,𝑉,𝑥   𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝜑,,𝑦,𝑔   𝜑,𝑖,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑔,,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑔,,𝑘,𝑠)   𝐶(,𝑘,𝑠)   𝐷(,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑔,,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑔,,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑦,𝑔,,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑦,𝑔,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem97
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑡 𝑢 𝑤 𝑧 𝑣 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 13444 . . . . . . . 8 ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ)
32sselda 3994 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
4 iftrue 4536 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ dom 𝐺 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
6 fourierdlem97.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ
8 dvfre 26003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10 fourierdlem97.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
1110feq1i 6727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
129, 11sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
14 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ dom 𝐺𝑠 ∈ dom 𝐺)
1510dmeqi 5917 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹)
1614, 15eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ dom 𝐺𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → 𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1813, 17ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
195, 18eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
2019adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
21 iffalse 4539 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ dom 𝐺 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = 0)
22 0red 11261 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ dom 𝐺 → 0 ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ dom 𝐺 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
2520, 24pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
263, 25syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
27 fourierdlem97.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
2827fvmpt2 7026 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
293, 26, 28syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
30 fourierdlem97.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
31 fourierdlem97.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
32 fourierdlem97.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
33 fourierdlem97.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 fourierdlem97.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
35 fourierdlem97.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
36 elioore 13413 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3834rexrd 11308 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
39 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
41 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝐷)
4238, 40, 35, 41syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < 𝐷)
43 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ( · 𝑇)) = (𝑥 + ( · 𝑇)))
4443eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
4544rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
4645cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
4746uneq2i 4174 . . . . . . . . . 10 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
48 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
4948oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
5049eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
5150cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
5352rabbiia 3436 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
5453uneq2i 4174 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
55 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = → (𝑙 · 𝑇) = ( · 𝑇))
5655oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + ( · 𝑇)))
5756eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
5857cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
6059rabbiia 3436 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
6160uneq2i 4174 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
6254, 61eqtri 2762 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
6362fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
6463oveq1i 7440 . . . . . . . . . 10 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
65 fourierdlem97.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
66 fourierdlem97.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
67 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = → (𝑘 · 𝑇) = ( · 𝑇))
6867oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)))
6968breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = → (((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
7069cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} = { ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}
7170supeq1i 9484 . . . . . . . . . 10 sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) = sup({ ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
72 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑒 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑒))
7372oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑒 → ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) = ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)))
7473breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑒 → (((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
7574cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} = {𝑒 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}
7675supeq1i 9484 . . . . . . . . . 10 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) = sup({𝑒 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
7730, 31, 32, 33, 34, 37, 42, 47, 64, 65, 66, 71, 76fourierdlem64 46125 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀) ∧ sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ ℤ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))))
7877simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
79 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝜑)
80 simpl2l 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
81 fourierdlem97.qcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
82 cncff 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
84 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ → Fun 𝐺)
8512, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → Fun 𝐺)
87 ffvresb 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fun 𝐺 → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ)))
8983, 88mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ))
9089r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ))
9190simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ dom 𝐺)
9291ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑠 ∈ dom 𝐺)
93 dfss3 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑠 ∈ dom 𝐺)
9492, 93sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
9579, 80, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
96 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ))
9779, 96jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)))
98 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
99 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))))
10098, 99sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
10131fourierdlem2 46064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
10232, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
10333, 102mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
104103simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
105 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
108 elfzofz 13711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
110107, 109ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
111110rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
112111adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
114 fzofzp1 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
116107, 115ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
117116adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
119118rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
120 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) → 𝑡 ∈ ℝ)
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
122 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ ℝ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℝ)
124123ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑙 ∈ ℝ)
125 fourierdlem97.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
126 fourierdlem97.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
127125, 126resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
12830, 127eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
129128ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
130124, 129remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℝ)
131121, 130resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ)
132110adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
133122ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → 𝑙 ∈ ℝ)
134128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ)
135133, 134remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℝ)
136132, 135readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ)
137136rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
139117, 135readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ)
140139rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
142 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
143 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) < 𝑡)
144138, 141, 142, 143syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) < 𝑡)
145132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
146145, 130, 121ltaddsubd 11860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) < 𝑡 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑡 − (𝑙 · 𝑇))))
147144, 146mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) < (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))
148 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))
149138, 141, 142, 148syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))
150121, 130, 118ltsubaddd 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ 𝑡 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
151149, 150mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
152113, 119, 131, 147, 151eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
15397, 100, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
15495, 153sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)
155 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
156 recn 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
158 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ ℂ)
159158ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℂ)
160128recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
161160ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
162159, 161mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℂ)
163157, 162npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) = 𝑡)
164163eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 = ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)))
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → 𝑡 = ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)))
166 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ V
167 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝑠 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺))
168167anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) ↔ ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)))
169 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) = ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)))
170169eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → ((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ↔ ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺))
171169fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))))
172 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝐺𝑠) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇))))
173171, 172eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → ((𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠) ↔ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))))
174170, 173anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠)) ↔ (((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇))))))
175168, 174imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → ((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠))) ↔ (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → (((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))))))
176 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ ⊆ ℂ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
1786, 177fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
179178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
180122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℝ)
181128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
182180, 181remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℝ)
183178ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
184128ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
185 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℤ)
186 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
187 fourierdlem97.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
188187ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
189183, 184, 185, 186, 188fperiodmul 45254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐹𝑠))
190179, 182, 189, 10fperdvper 45874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → ((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠)))
191166, 175, 190vtocl 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → (((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))))
192191simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)
193192adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)
194165, 193eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → 𝑡 ∈ dom 𝐺)
195194ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
196155, 195sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
197196adantlrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
1981973adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
199154, 198mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom 𝐺)
200199ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))𝑡 ∈ dom 𝐺)
201 dfss3 3983 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))𝑡 ∈ dom 𝐺)
202200, 201sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
2032023exp 1118 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺)))
204203rexlimdvv 3209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺))
20578, 204mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
206205sselda 3994 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑠 ∈ dom 𝐺)
207206iftrued 4538 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
20829, 207eqtr2d 2775 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝐺𝑠) = (𝐻𝑠))
209208mpteq2dva 5247 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
21015a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹))
211210feq2d 6722 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
21212, 211mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
213212, 205feqresmpt 6977 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
21425, 27fmptd 7133 . . . 4 (𝜑𝐻:ℝ⟶ℝ)
215214, 2feqresmpt 6977 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
216209, 213, 2153eqtr4d 2784 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = (𝐻 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))))
217214, 177fssd 6753 . . 3 (𝜑𝐻:ℝ⟶ℂ)
21827a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0)))
219 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑠 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺))
220 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐺𝑠) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
221219, 220ifbieq1d 4554 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0))
222178, 128, 187, 10fperdvper 45874 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
223222simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
224223iftrued 4538 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
225221, 224sylan9eqr 2796 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
226225adantllr 719 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
227 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
228128adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
229227, 228readdcld 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
230229adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
231212ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
232223adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
233231, 232ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℝ)
234218, 226, 230, 233fvmptd 7022 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
235222simprd 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))
236235adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))
237 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺))
238 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑥))
239237, 238ifbieq1d 4554 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0))
240239adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = 𝑥) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0))
241 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
242 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
243242iftrued 4538 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) = (𝐺𝑥))
244212ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
245243, 244eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) ∈ ℝ)
246245adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) ∈ ℝ)
247218, 240, 241, 246fvmptd 7022 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻𝑥) = if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0))
248 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
249248iftrued 4538 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) = (𝐺𝑥))
250247, 249eqtr2d 2775 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
251234, 236, 2503eqtrd 2778 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐻𝑥))
252229recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
253228recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
254252, 253negsubd 11623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇))
255227recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
256255, 253pncand 11618 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑥)
257254, 256eqtr2d 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 = ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇))
258257adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → 𝑥 = ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇))
259 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
260 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → 𝜑)
261260, 259jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺))
262 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺))
263262anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝜑𝑦 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)))
264 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 + -𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇))
265264eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ↔ ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺))
266264fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)))
267 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
268266, 267eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇))))
269265, 268anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦)) ↔ (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))))
270263, 269imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (((𝜑𝑦 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇))))))
271128renegcld 11687 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -𝑇 ∈ ℝ)
272160mulm1d 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-1 · 𝑇) = -𝑇)
273272eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑇 = (-1 · 𝑇))
274273adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -𝑇 = (-1 · 𝑇))
275274oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + -𝑇) = (𝑦 + (-1 · 𝑇)))
276275fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + (-1 · 𝑇))))
277178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
278128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
279 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
280279znegcld 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℤ)
281 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
282187adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
283277, 278, 280, 281, 282fperiodmul 45254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + (-1 · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
284276, 283eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐹𝑦))
285178, 271, 284, 10fperdvper 45874 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦)))
286270, 285vtoclg 3553 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 → ((𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))))
287259, 261, 286sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇))))
288287simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺)
289258, 288eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
290289stoic1a 1768 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ¬ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
291290iffalsed 4541 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0) = 0)
29227a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0)))
293221adantl 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0))
294229adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
295 0red 11261 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 0 ∈ ℝ)
296291, 295eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0) ∈ ℝ)
297292, 293, 294, 296fvmptd 7022 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0))
298 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺)
299298iffalsed 4541 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) = 0)
300239, 299sylan9eqr 2796 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = 𝑥) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = 0)
301 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
302292, 300, 301, 295fvmptd 7022 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻𝑥) = 0)
303291, 297, 3023eqtr4d 2784 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐻𝑥))
304251, 303pm2.61dan 813 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐻𝑥))
305 elioore 13413 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
306305adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
307305, 25sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
308306, 307, 28syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
309308adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
31091iftrued 4538 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
311309, 310eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = (𝐺𝑠))
312311mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
313214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
314 ioossre 13444 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
315314a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
316313, 315feqresmpt 6977 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
317212adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
318317, 94feqresmpt 6977 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
319312, 316, 3183eqtr4d 2784 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
320319, 81eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
321 eqid 2734 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
322 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
323322eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
324323rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
325324cbvrabv 3443 . . . . 5 {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
326325uneq2i 4174 . . . 4 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
327326eqcomi 2743 . . 3 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
32854fveq2i 6909 . . . 4 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
329328oveq1i 7440 . . 3 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
330 isoeq5 7340 . . . . . 6 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
33161, 330ax-mp 5 . . . . 5 (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
332331iotabii 6547 . . . 4 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
333 isoeq1 7336 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
334333cbviotavw 6523 . . . 4 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
335332, 334, 653eqtr4ri 2773 . . 3 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
336 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥𝑣 = 𝑥)
337 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (𝐵𝑣) = (𝐵𝑥))
338337oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → ((𝐵𝑣) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
339338fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
340339oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
341336, 340oveq12d 7448 . . . 4 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
342341cbvmptv 5260 . . 3 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
343 eqeq1 2738 . . . . 5 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 = 𝐵𝑧 = 𝐵))
344 id 22 . . . . 5 (𝑢 = 𝑧𝑢 = 𝑧)
345343, 344ifbieq2d 4556 . . . 4 (𝑢 = 𝑧 → if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
346345cbvmptv 5260 . . 3 (𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
347 eqid 2734 . . 3 ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))
348 eqid 2734 . . 3 (𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))) = (𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))
349 eqid 2734 . . 3 (𝑧 ∈ ((((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))(,)(((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))) ↦ ((𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑧 − ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))))) = (𝑧 ∈ ((((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))(,)(((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))) ↦ ((𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑧 − ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))))
350 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑡 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑡))
351350breq1d 5157 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑡 → ((𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
352351cbvrabv 3443 . . . . . 6 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
353 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
354353fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤)) = ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
355354eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) = ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤)))
356355breq2d 5159 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))))
357356rabbidv 3440 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))})
358352, 357eqtr2id 2787 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
359358supeq1d 9483 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → sup({𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
360359cbvmptv 5260 . . 3 (𝑤 ∈ ℝ ↦ sup({𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
36131, 30, 32, 33, 217, 304, 320, 34, 35, 321, 327, 329, 335, 342, 346, 66, 347, 348, 349, 360fourierdlem90 46151 . 2 (𝜑 → (𝐻 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
362216, 361eqeltrd 2838 1 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cun 3960  wss 3962  ifcif 4530  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cio 6513  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562   Isom wiso 6563  (class class class)co 7430  m cmap 8864  supcsup 9477  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  cfl 13826  chash 14365  cnccncf 24915   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  46173
  Copyright terms: Public domain W3C validator