Theorem oppccatf 17692

Description: oppCat restricted to Cat is a function from Cat to Cat. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oppccatf	⊢ (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat

Proof of Theorem oppccatf

Dummy variables 𝑢 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oppc 17676	. . . 4 ⊢ oppCat = (𝑓 ∈ V ↦ ((𝑓 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝑓)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝑓) × (Base‘𝑓)), 𝑧 ∈ (Base‘𝑓) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝑓)(1st ‘𝑢)))⟩))
2	1	funmpt2 6531	. . 3 ⊢ Fun oppCat
3		ffvresb 7074	. . 3 ⊢ (Fun oppCat → ((oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat ↔ ∀𝑐 ∈ Cat (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat ↔ ∀𝑐 ∈ Cat (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat))
5		elex 3453	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → 𝑐 ∈ V)
6		ovex 7396	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝑓)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝑓) × (Base‘𝑓)), 𝑧 ∈ (Base‘𝑓) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝑓)(1st ‘𝑢)))⟩) ∈ V
7	6, 1	dmmpti 6636	. . . 4 ⊢ dom oppCat = V
8	5, 7	eleqtrrdi 2851	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → 𝑐 ∈ dom oppCat)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
10	9	oppccat 17686	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
11	8, 10	jca 516	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat))
12	4, 11	mprgbir 3061	1 ⊢ (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432  ⟨cop 4568   × cxp 5623  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  1^st c1st 7936  2^nd c2nd 7937  tpos ctpos 8172   sSet csts 17131  ndxcnx 17161  Basecbs 17177  Hom chom 17229  compcco 17230  Catccat 17628  oppCatcoppc 17675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-hom 17242  df-cco 17243  df-cat 17632  df-cid 17633  df-oppc 17676

This theorem is referenced by:  dfinito3  17970  dftermo3  17971