Theorem oppccatf 17864

Description: oppCat restricted to Cat is a function from Cat to Cat. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oppccatf	⊢ (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat

Proof of Theorem oppccatf

Dummy variables 𝑢 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oppc 17848	. . . 4 ⊢ oppCat = (𝑓 ∈ V ↦ ((𝑓 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝑓)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝑓) × (Base‘𝑓)), 𝑧 ∈ (Base‘𝑓) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝑓)(1st ‘𝑢)))⟩))
2	1	funmpt2 6567	. . 3 ⊢ Fun oppCat
3		ffvresb 7114	. . 3 ⊢ (Fun oppCat → ((oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat ↔ ∀𝑐 ∈ Cat (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat ↔ ∀𝑐 ∈ Cat (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat))
5		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → 𝑐 ∈ V)
6		ovex 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝑓)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝑓) × (Base‘𝑓)), 𝑧 ∈ (Base‘𝑓) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝑓)(1st ‘𝑢)))⟩) ∈ V
7	6, 1	dmmpti 6671	. . . 4 ⊢ dom oppCat = V
8	5, 7	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → 𝑐 ∈ dom oppCat)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
10	9	oppccat 17858	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
11	8, 10	jca 521	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat))
12	4, 11	mprgbir 3083	1 ⊢ (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⟨cop 4589   × cxp 5645  dom cdm 5647   ↾ cres 5649  Fun wfun 6521  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983  tpos ctpos 8220   sSet csts 17303  ndxcnx 17333  Basecbs 17349  Hom chom 17401  compcco 17402  Catccat 17800  oppCatcoppc 17847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-hom 17414  df-cco 17415  df-cat 17804  df-cid 17805  df-oppc 17848

This theorem is used by:  dfinito3  18142  dftermo3  18143