Theorem oppccatf 17713

Description: oppCat restricted to Cat is a function from Cat to Cat. (Contributed by Zhi Wang, 29-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oppccatf	⊢ (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat

Proof of Theorem oppccatf

Dummy variables 𝑢 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oppc 17695	. . . 4 ⊢ oppCat = (𝑓 ∈ V ↦ ((𝑓 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝑓)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝑓) × (Base‘𝑓)), 𝑧 ∈ (Base‘𝑓) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝑓)(1st ‘𝑢)))⟩))
2	1	funmpt2 6593	. . 3 ⊢ Fun oppCat
3		ffvresb 7134	. . 3 ⊢ (Fun oppCat → ((oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat ↔ ∀𝑐 ∈ Cat (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat ↔ ∀𝑐 ∈ Cat (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat))
5		elex 3480	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → 𝑐 ∈ V)
6		ovex 7452	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝑓)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝑓) × (Base‘𝑓)), 𝑧 ∈ (Base‘𝑓) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝑓)(1st ‘𝑢)))⟩) ∈ V
7	6, 1	dmmpti 6700	. . . 4 ⊢ dom oppCat = V
8	5, 7	eleqtrrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → 𝑐 ∈ dom oppCat)
9		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝑐) = (oppCat‘𝑐)
10	9	oppccat 17707	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (oppCat‘𝑐) ∈ Cat)
11	8, 10	jca 510	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ Cat → (𝑐 ∈ dom oppCat ∧ (oppCat‘𝑐) ∈ Cat))
12	4, 11	mprgbir 3057	1 ⊢ (oppCat ↾ Cat):Cat⟶Cat

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  Vcvv 3461  ⟨cop 4636   × cxp 5676  dom cdm 5678   ↾ cres 5680  Fun wfun 6543  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  1^st c1st 7992  2^nd c2nd 7993  tpos ctpos 8231   sSet csts 17135  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  Hom chom 17247  compcco 17248  Catccat 17647  oppCatcoppc 17694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-hom 17260  df-cco 17261  df-cat 17651  df-cid 17652  df-oppc 17695

This theorem is referenced by:  dfinito3  17997  dftermo3  17998