Theorem ficardid 9915

Description: A finite set is equinumerous to its cardinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ficardid	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ficardid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finnum 9901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
2		cardid2 9906	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  dom cdm 5645  ‘cfv 6515   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6343  df-on 6344  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-om 7841  df-er 8671  df-en 8922  df-fin 8925  df-card 9892

This theorem is referenced by:  isinffi  9945  finnisoeu  10064  ficardadju  10151  ackbij1lem5  10174  ackbij1lem9  10178  ackbij1b  10189  ackbij2lem2  10190  fin1a2lem11  10362  mreexexd  17661