MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ficardom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ficardom 9374
Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
ficardom (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8516 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
21biimpi 219 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
3 finnum 9361 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4 cardid2 9366 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6 entr 8544 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
75, 6sylan 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8 cardon 9357 . . . . . . 7 (card‘𝐴) ∈ On
9 onomeneq 8693 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
108, 9mpan 689 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
117, 10syl5ib 247 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12 eleq1a 2885 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
1311, 12syld 47 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
1413expcomd 420 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
1514rexlimiv 3239 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
162, 15mpcom 38 1 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wrex 3107   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  Oncon0 6159  cfv 6324  ωcom 7560  cen 8489  Fincfn 8492  cardccrd 9348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352
This theorem is referenced by:  cardnn  9376  isinffi  9405  finnisoeu  9524  iunfictbso  9525  ficardadju  9610  ficardun  9611  ficardunOLD  9612  ficardun2  9613  ficardun2OLD  9614  pwsdompw  9615  ackbij1lem5  9635  ackbij1lem9  9639  ackbij1lem10  9640  ackbij1lem14  9644  ackbij1b  9650  ackbij2lem2  9651  ackbij2  9654  fin23lem22  9738  fin1a2lem11  9821  domtriomlem  9853  pwfseqlem4a  10072  pwfseqlem4  10073  hashkf  13688  hashginv  13690  hashcard  13712  hashcl  13713  hashdom  13736  hashun  13739  ishashinf  13817  ackbijnn  15175  mreexexd  16911
  Copyright terms: Public domain W3C validator