Theorem ficardom 9994

Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ficardom	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2	1	biimpi 215	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
3		finnum 9981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4		cardid2 9986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6		entr 9035	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8		cardon 9977	. . . . . . 7 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
9		onomeneq 9261	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
10	8, 9	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
11	7, 10	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12		eleq1a 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
13	11, 12	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
14	13	expcomd 415	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
15	14	rexlimiv 3145	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
16	2, 15	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  Oncon0 6374  ‘cfv 6553  ωcom 7878   ≈ cen 8969  Fincfn 8972  cardccrd 9968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7879  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972

This theorem is referenced by:  cardnn  9996  isinffi  10025  finnisoeu  10146  iunfictbso  10147  ficardadju  10232  ficardun  10233  ficardunOLD  10234  ficardun2  10235  ficardun2OLD  10236  pwsdompw  10237  ackbij1lem5  10257  ackbij1lem9  10261  ackbij1lem10  10262  ackbij1lem14  10266  ackbij1b  10272  ackbij2lem2  10273  ackbij2  10276  fin23lem22  10360  fin1a2lem11  10443  domtriomlem  10475  pwfseqlem4a  10694  pwfseqlem4  10695  hashkf  14333  hashginv  14335  hashcard  14356  hashcl  14357  hashdom  14380  hashun  14383  ishashinf  14466  ackbijnn  15816  mreexexd  17637