Theorem ficardom 9854

Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ficardom	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8898	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
3		finnum 9841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4		cardid2 9846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6		entr 8928	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8		cardon 9837	. . . . . . 7 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
9		onomeneq 9123	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
10	8, 9	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
11	7, 10	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12		eleq1a 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
13	11, 12	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
14	13	expcomd 416	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
15	14	rexlimiv 3126	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
16	2, 15	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  Oncon0 6306  ‘cfv 6481  ωcom 7796   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  cardccrd 9828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832

This theorem is referenced by:  cardnn  9856  isinffi  9885  finnisoeu  10004  iunfictbso  10005  ficardadju  10091  ficardun  10092  ficardun2  10093  pwsdompw  10094  ackbij1lem5  10114  ackbij1lem9  10118  ackbij1lem10  10119  ackbij1lem14  10123  ackbij1b  10129  ackbij2lem2  10130  ackbij2  10133  fin23lem22  10218  fin1a2lem11  10301  domtriomlem  10333  pwfseqlem4a  10552  pwfseqlem4  10553  hashkf  14239  hashginv  14241  hashcard  14262  hashcl  14263  hashdom  14286  hashun  14289  ishashinf  14370  ackbijnn  15735  mreexexd  17554