MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ficardom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ficardom 9893
Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
ficardom (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8912 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
21biimpi 215 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
3 finnum 9880 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4 cardid2 9885 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6 entr 8942 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
75, 6sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8 cardon 9876 . . . . . . 7 (card‘𝐴) ∈ On
9 onomeneq 9168 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
108, 9mpan 688 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
117, 10imbitrid 243 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12 eleq1a 2833 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
1311, 12syld 47 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
1413expcomd 417 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
1514rexlimiv 3143 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
162, 15mpcom 38 1 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  Oncon0 6315  cfv 6493  ωcom 7798  cen 8876  Fincfn 8879  cardccrd 9867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7799  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9871
This theorem is referenced by:  cardnn  9895  isinffi  9924  finnisoeu  10045  iunfictbso  10046  ficardadju  10131  ficardun  10132  ficardunOLD  10133  ficardun2  10134  ficardun2OLD  10135  pwsdompw  10136  ackbij1lem5  10156  ackbij1lem9  10160  ackbij1lem10  10161  ackbij1lem14  10165  ackbij1b  10171  ackbij2lem2  10172  ackbij2  10175  fin23lem22  10259  fin1a2lem11  10342  domtriomlem  10374  pwfseqlem4a  10593  pwfseqlem4  10594  hashkf  14224  hashginv  14226  hashcard  14247  hashcl  14248  hashdom  14271  hashun  14274  ishashinf  14354  ackbijnn  15705  mreexexd  17520
  Copyright terms: Public domain W3C validator