Theorem ficardom 9958

Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ficardom	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8974	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2	1	biimpi 215	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
3		finnum 9945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4		cardid2 9950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6		entr 9004	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
7	5, 6	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8		cardon 9941	. . . . . . 7 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
9		onomeneq 9230	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
10	8, 9	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
11	7, 10	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12		eleq1a 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
13	11, 12	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
14	13	expcomd 416	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
15	14	rexlimiv 3142	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
16	2, 15	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Oncon0 6358  ‘cfv 6537  ωcom 7852   ≈ cen 8938  Fincfn 8941  cardccrd 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936

This theorem is referenced by:  cardnn  9960  isinffi  9989  finnisoeu  10110  iunfictbso  10111  ficardadju  10196  ficardun  10197  ficardunOLD  10198  ficardun2  10199  ficardun2OLD  10200  pwsdompw  10201  ackbij1lem5  10221  ackbij1lem9  10225  ackbij1lem10  10226  ackbij1lem14  10230  ackbij1b  10236  ackbij2lem2  10237  ackbij2  10240  fin23lem22  10324  fin1a2lem11  10407  domtriomlem  10439  pwfseqlem4a  10658  pwfseqlem4  10659  hashkf  14297  hashginv  14299  hashcard  14320  hashcl  14321  hashdom  14344  hashun  14347  ishashinf  14430  ackbijnn  15780  mreexexd  17601