MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ficardom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ficardom 8987
Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
ficardom (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8133 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
21biimpi 206 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
3 finnum 8974 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4 cardid2 8979 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6 entr 8161 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
75, 6sylan 569 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8 cardon 8970 . . . . . . 7 (card‘𝐴) ∈ On
9 onomeneq 8306 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
108, 9mpan 670 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
117, 10syl5ib 234 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12 eleq1a 2845 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
1311, 12syld 47 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
1413expcomd 402 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
1514rexlimiv 3175 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
162, 15mpcom 38 1 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  Oncon0 5866  cfv 6031  ωcom 7212  cen 8106  Fincfn 8109  cardccrd 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965
This theorem is referenced by:  cardnn  8989  isinffi  9018  finnisoeu  9136  iunfictbso  9137  ficardun  9226  ficardun2  9227  pwsdompw  9228  ackbij1lem5  9248  ackbij1lem9  9252  ackbij1lem10  9253  ackbij1lem14  9257  ackbij1b  9263  ackbij2lem2  9264  ackbij2  9267  fin23lem22  9351  fin1a2lem11  9434  domtriomlem  9466  pwfseqlem4a  9685  pwfseqlem4  9686  hashkf  13323  hashginv  13325  hashcard  13348  hashcl  13349  hashdom  13370  hashun  13373  ishashinf  13449  ackbijnn  14767  mreexexd  16516
  Copyright terms: Public domain W3C validator