Theorem ficardadju 10250

Description: The disjoint union of finite sets is equinumerous to the ordinal sum of the cardinalities of those sets. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ficardadju	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Proof of Theorem ficardadju

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ficardom 10014	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
2		ficardom 10014	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
3		nnadju 10248	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) = ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))
4		df-dju 9954	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) = (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵)))
5		snfi 9049	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
6		nnfi 9161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ Fin)
7		xpfi 9289	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ (card‘𝐴) ∈ Fin) → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
9		snfi 9049	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ Fin
10		nnfi 9161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ ω → (card‘𝐵) ∈ Fin)
11		xpfi 9289	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1o} ∈ Fin ∧ (card‘𝐵) ∈ Fin) → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ ω → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
13		unfi 9164	. . . . . . . 8 ⊢ ((({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
14	8, 12, 13	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
15	4, 14	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin)
16		ficardid 10015	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
18	3, 17	eqbrtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
19	1, 2, 18	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
20		ficardid 10015	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
21		ficardid 10015	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
22		djuen 10220	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
23	20, 21, 22	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24		entr 9011	. . 3 ⊢ ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∧ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25	19, 23, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	25	ensymd 9010	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3896  ∅c0 4278  {csn 4583   class class class wbr 5102   × cxp 5645  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ωcom 7860  1_oc1o 8447   +_o coa 8451   ≈ cen 8948  Fincfn 8951   ⊔ cdju 9951  cardccrd 9988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9954  df-card 9992

This theorem is used by:  ficardun  10251  ficardun2  10252