Theorem ficardadju 10158

Description: The disjoint union of finite sets is equinumerous to the ordinal sum of the cardinalities of those sets. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ficardadju	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Proof of Theorem ficardadju

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ficardom 9921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
2		ficardom 9921	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
3		nnadju 10156	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) = ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))
4		df-dju 9861	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) = (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵)))
5		snfi 9026	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
6		nnfi 9138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ Fin)
7		xpfi 9266	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ (card‘𝐴) ∈ Fin) → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
9		snfi 9026	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ Fin
10		nnfi 9138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ ω → (card‘𝐵) ∈ Fin)
11		xpfi 9266	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1o} ∈ Fin ∧ (card‘𝐵) ∈ Fin) → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ ω → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
13		unfi 9141	. . . . . . . 8 ⊢ ((({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
14	8, 12, 13	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
15	4, 14	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin)
16		ficardid 9922	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
18	3, 17	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
19	1, 2, 18	syl2an 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
20		ficardid 9922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
21		ficardid 9922	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
22		djuen 10128	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
23	20, 21, 22	syl2an 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24		entr 8989	. . 3 ⊢ ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∧ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25	19, 23, 24	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	25	ensymd 8988	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3904  ∅c0 4287  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5647  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ωcom 7848  1_oc1o 8432   +_o coa 8436   ≈ cen 8926  Fincfn 8929   ⊔ cdju 9858  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-dju 9861  df-card 9899

This theorem is referenced by:  ficardun  10159  ficardun2  10160