Theorem ficardadju 10305

Description: The disjoint union of finite sets is equinumerous to the ordinal sum of the cardinalities of those sets. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ficardadju	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Proof of Theorem ficardadju

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ficardom 10069	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
2		ficardom 10069	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
3		nnadju 10303	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) = ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))
4		df-dju 10009	. . . . . . 7 ⊢ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) = (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵)))
5		snfi 9099	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ∈ Fin
6		nnfi 9211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ Fin)
7		xpfi 9339	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} ∈ Fin ∧ (card‘𝐴) ∈ Fin) → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
9		snfi 9099	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ Fin
10		nnfi 9211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ ω → (card‘𝐵) ∈ Fin)
11		xpfi 9339	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1o} ∈ Fin ∧ (card‘𝐵) ∈ Fin) → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
12	9, 10, 11	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((card‘𝐵) ∈ ω → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
13		unfi 9214	. . . . . . . 8 ⊢ ((({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
14	8, 12, 13	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
15	4, 14	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin)
16		ficardid 10070	. . . . . 6 ⊢ (((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
18	3, 17	eqbrtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
19	1, 2, 18	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
20		ficardid 10070	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
21		ficardid 10070	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
22		djuen 10275	. . . 4 ⊢ (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
23	20, 21, 22	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
24		entr 9061	. . 3 ⊢ ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∧ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
25	19, 23, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
26	25	ensymd 9060	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ωcom 7901  1_oc1o 8497   +_o coa 8501   ≈ cen 8998  Fincfn 9001   ⊔ cdju 10006  cardccrd 10043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047

This theorem is used by:  ficardun  10306  ficardun2  10307