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Theorem ficardadju 10238
Description: The disjoint union of finite sets is equinumerous to the ordinal sum of the cardinalities of those sets. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
ficardadju ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))

Proof of Theorem ficardadju
StepHypRef Expression
1 ficardom 9999 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
2 ficardom 9999 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ∈ ω)
3 nnadju 10236 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) = ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))
4 df-dju 9939 . . . . . . 7 ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) = (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵)))
5 snfi 9082 . . . . . . . . 9 {∅} ∈ Fin
6 nnfi 9206 . . . . . . . . 9 ((card‘𝐴) ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ Fin)
7 xpfi 9356 . . . . . . . . 9 (({∅} ∈ Fin ∧ (card‘𝐴) ∈ Fin) → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . 8 ((card‘𝐴) ∈ ω → ({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin)
9 snfi 9082 . . . . . . . . 9 {1o} ∈ Fin
10 nnfi 9206 . . . . . . . . 9 ((card‘𝐵) ∈ ω → (card‘𝐵) ∈ Fin)
11 xpfi 9356 . . . . . . . . 9 (({1o} ∈ Fin ∧ (card‘𝐵) ∈ Fin) → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . 8 ((card‘𝐵) ∈ ω → ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin)
13 unfi 9210 . . . . . . . 8 ((({∅} × (card‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ({1o} × (card‘𝐵)) ∈ Fin) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
148, 12, 13syl2an 596 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (({∅} × (card‘𝐴)) ∪ ({1o} × (card‘𝐵))) ∈ Fin)
154, 14eqeltrid 2843 . . . . . 6 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin)
16 ficardid 10000 . . . . . 6 (((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∈ Fin → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → (card‘((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵))) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
183, 17eqbrtrrd 5172 . . . 4 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐵) ∈ ω) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
191, 2, 18syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)))
20 ficardid 10000 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
21 ficardid 10000 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
22 djuen 10208 . . . 4 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
2320, 21, 22syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
24 entr 9045 . . 3 ((((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ∧ ((card‘𝐴) ⊔ (card‘𝐵)) ≈ (𝐴𝐵)) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
2519, 23, 24syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)) ≈ (𝐴𝐵))
2625ensymd 9044 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +o (card‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  cun 3961  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1oc1o 8498   +o coa 8502  cen 8981  Fincfn 8984  cdju 9936  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977
This theorem is referenced by:  ficardun  10239  ficardun2  10240
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