MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem15 9472
Description: Lemma for fin23 9527. 𝑈 is a monotone function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
Assertion
Ref Expression
fin23lem15 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑢,𝑡,𝑖)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem15
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝐵))
21sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈𝐵) ⊆ (𝑈𝐵)))
3 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝑎))
43sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
5 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = suc 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈‘suc 𝑎))
65sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = suc 𝑎 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
7 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = 𝐴 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝐴))
87sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = 𝐴 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐵)))
9 ssidd 3850 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝑈𝐵) ⊆ (𝑈𝐵))
10 fin23lem.a . . . . 5 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
1110fin23lem13 9470 . . . 4 (𝑎 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝑎))
1211ad2antrr 719 . . 3 (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝑎) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝑎))
13 sstr2 3835 . . 3 ((𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝑎) → ((𝑈𝑎) ⊆ (𝑈𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
1412, 13syl 17 . 2 (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝑎) → ((𝑈𝑎) ⊆ (𝑈𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
152, 4, 6, 8, 9, 14findsg 7355 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3415  cin 3798  wss 3799  c0 4145  ifcif 4307   cuni 4659  ran crn 5344  suc csuc 5966  cfv 6124  cmpt2 6908  ωcom 7327  seq𝜔cseqom 7809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-seqom 7810
This theorem is referenced by:  fin23lem16  9473
  Copyright terms: Public domain W3C validator