Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem15 9472
 Description: Lemma for fin23 9527. 𝑈 is a monotone function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
Assertion
Ref Expression
fin23lem15 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑢,𝑡,𝑖)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem15
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝐵))
21sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈𝐵) ⊆ (𝑈𝐵)))
3 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝑎))
43sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
5 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = suc 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈‘suc 𝑎))
65sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = suc 𝑎 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
7 fveq2 6434 . . 3 (𝑏 = 𝐴 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝐴))
87sseq1d 3858 . 2 (𝑏 = 𝐴 → ((𝑈𝑏) ⊆ (𝑈𝐵) ↔ (𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐵)))
9 ssidd 3850 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝑈𝐵) ⊆ (𝑈𝐵))
10 fin23lem.a . . . . 5 𝑈 = seq𝜔((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
1110fin23lem13 9470 . . . 4 (𝑎 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝑎))
1211ad2antrr 719 . . 3 (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝑎) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝑎))
13 sstr2 3835 . . 3 ((𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝑎) → ((𝑈𝑎) ⊆ (𝑈𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
1412, 13syl 17 . 2 (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝑎) → ((𝑈𝑎) ⊆ (𝑈𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈𝐵)))
152, 4, 6, 8, 9, 14findsg 7355 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  ifcif 4307  ∪ cuni 4659  ran crn 5344  suc csuc 5966  ‘cfv 6124   ↦ cmpt2 6908  ωcom 7327  seq𝜔cseqom 7809 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-seqom 7810 This theorem is referenced by:  fin23lem16  9473
 Copyright terms: Public domain W3C validator