Theorem fin23lem15 10378

Description: Lemma for fin23 10433. 𝑈 is a monotone function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a	⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem15	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝐴) ⊆ (𝑈‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑢,𝑡,𝑖)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem15

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6911	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝐵))
2	1	sseq1d 4028	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘𝐵) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
3		fveq2 6911	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝑎))
4	3	sseq1d 4028	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
5		fveq2 6911	. . 3 ⊢ (𝑏 = suc 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘suc 𝑎))
6	5	sseq1d 4028	. 2 ⊢ (𝑏 = suc 𝑎 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
7		fveq2 6911	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝐴))
8	7	sseq1d 4028	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘𝐴) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
9		ssidd 4020	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝑈‘𝐵) ⊆ (𝑈‘𝐵))
10		fin23lem.a	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)
11	10	fin23lem13 10376	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝑎))
12	11	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑎) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝑎))
13		sstr2 4003	. . 3 ⊢ ((𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝑎) → ((𝑈‘𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑎) → ((𝑈‘𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
15	2, 4, 6, 8, 9, 14	findsg 7924	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝐴) ⊆ (𝑈‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∩ cin 3963   ⊆ wss 3964  ∅c0 4340  ifcif 4532  ∪ cuni 4913  ran crn 5691  suc csuc 6391  ‘cfv 6566   ∈ cmpo 7437  ωcom 7891  seq_ωcseqom 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pr 5439  ax-un 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-seqom 8493

This theorem is referenced by:  fin23lem16  10379