Theorem fin23lem15 10228

Description: Lemma for fin23 10283. 𝑈 is a monotone function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a	⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem15	⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝐴) ⊆ (𝑈‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑢,𝑡,𝑖)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem15

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝐵))
2	1	sseq1d 3967	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘𝐵) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
3		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝑎))
4	3	sseq1d 3967	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
5		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑏 = suc 𝑎 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘suc 𝑎))
6	5	sseq1d 3967	. 2 ⊢ (𝑏 = suc 𝑎 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
7		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑈‘𝑏) = (𝑈‘𝐴))
8	7	sseq1d 3967	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑈‘𝑏) ⊆ (𝑈‘𝐵) ↔ (𝑈‘𝐴) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
9		ssidd 3959	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝑈‘𝐵) ⊆ (𝑈‘𝐵))
10		fin23lem.a	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)
11	10	fin23lem13 10226	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝑎))
12	11	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑎) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝑎))
13		sstr2 3942	. . 3 ⊢ ((𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝑎) → ((𝑈‘𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑎) → ((𝑈‘𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵) → (𝑈‘suc 𝑎) ⊆ (𝑈‘𝐵)))
15	2, 4, 6, 8, 9, 14	findsg 7830	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝐴) ⊆ (𝑈‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ifcif 4476  ∪ cuni 4858  ran crn 5620  suc csuc 6309  ‘cfv 6482   ∈ cmpo 7351  ωcom 7799  seq_ωcseqom 8369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-seqom 8370

This theorem is referenced by:  fin23lem16  10229