MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem13 9834
Description: Lemma for fin23 9891. Each step of 𝑈 is a decrease. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
Assertion
Ref Expression
fin23lem13 (𝐴 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝐴) ⊆ (𝑈𝐴))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem13
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . 3 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡𝑖) ∩ 𝑢))), ran 𝑡)
21fin23lem12 9833 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝐴) = if(((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) = ∅, (𝑈𝐴), ((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴))))
3 sseq1 3902 . . 3 ((𝑈𝐴) = if(((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) = ∅, (𝑈𝐴), ((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴))) → ((𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐴) ↔ if(((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) = ∅, (𝑈𝐴), ((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴))) ⊆ (𝑈𝐴)))
4 sseq1 3902 . . 3 (((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) = if(((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) = ∅, (𝑈𝐴), ((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴))) → (((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) ⊆ (𝑈𝐴) ↔ if(((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) = ∅, (𝑈𝐴), ((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴))) ⊆ (𝑈𝐴)))
5 ssid 3899 . . 3 (𝑈𝐴) ⊆ (𝑈𝐴)
6 inss2 4120 . . 3 ((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) ⊆ (𝑈𝐴)
73, 4, 5, 6keephyp 4485 . 2 if(((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴)) = ∅, (𝑈𝐴), ((𝑡𝐴) ∩ (𝑈𝐴))) ⊆ (𝑈𝐴)
82, 7eqsstrdi 3931 1 (𝐴 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝐴) ⊆ (𝑈𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  cin 3842  wss 3843  c0 4211  ifcif 4414   cuni 4796  ran crn 5526  suc csuc 6174  cfv 6339  cmpo 7174  ωcom 7601  seqωcseqom 8114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-un 7481
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-seqom 8115
This theorem is referenced by:  fin23lem15  9836  fin23lem17  9840
  Copyright terms: Public domain W3C validator