Theorem fin23lem14 10020

Description: Lemma for fin23 10076. 𝑈 will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a	⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem14	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem14

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘∅))
2	1	neeq1d 3002	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘∅) ≠ ∅))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)))
4		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝑏))
5	4	neeq1d 3002	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)))
7		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘suc 𝑏))
8	7	neeq1d 3002	. . . 4 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
10		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝐴))
11	10	neeq1d 3002	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)))
13		vex 3426	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
14	13	rnex 7733	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑡 ∈ V
15	14	uniex 7572	. . . . 5 ⊢ ∪ ran 𝑡 ∈ V
16		fin23lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)
17	16	seqom0g 8257	. . . . 5 ⊢ (∪ ran 𝑡 ∈ V → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
18	15, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
19		id 22	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → ∪ ran 𝑡 ≠ ∅)
20	18, 19	eqnetrd 3010	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)
21	16	fin23lem12 10018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
23		iftrue 4462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
25		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)
26	24, 25	eqnetrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
27		iffalse 4465	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
29		neqne 2950	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
31	28, 30	eqnetrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
32	26, 31	pm2.61ian 808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
33	22, 32	eqnetrd 3010	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((𝑈‘𝑏) ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
35	34	imim2d 57	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
36	3, 6, 9, 12, 20, 35	finds 7719	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
37	36	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  ifcif 4456  ∪ cuni 4836  ran crn 5581  suc csuc 6253  ‘cfv 6418   ∈ cmpo 7257  ωcom 7687  seq_ωcseqom 8248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-seqom 8249

This theorem is referenced by:  fin23lem21  10026