Theorem fin23lem14 10278

Description: Lemma for fin23 10334. 𝑈 will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a	⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem14	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem14

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘∅))
2	1	neeq1d 2999	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘∅) ≠ ∅))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)))
4		fveq2 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝑏))
5	4	neeq1d 2999	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)))
7		fveq2 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘suc 𝑏))
8	7	neeq1d 2999	. . . 4 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
10		fveq2 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝐴))
11	10	neeq1d 2999	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)))
13		vex 3450	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
14	13	rnex 7854	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑡 ∈ V
15	14	uniex 7683	. . . . 5 ⊢ ∪ ran 𝑡 ∈ V
16		fin23lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)
17	16	seqom0g 8407	. . . . 5 ⊢ (∪ ran 𝑡 ∈ V → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
18	15, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
19		id 22	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → ∪ ran 𝑡 ≠ ∅)
20	18, 19	eqnetrd 3007	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)
21	16	fin23lem12 10276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
23		iftrue 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
25		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)
26	24, 25	eqnetrd 3007	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
27		iffalse 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
29		neqne 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
31	28, 30	eqnetrd 3007	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
32	26, 31	pm2.61ian 810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
33	22, 32	eqnetrd 3007	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)
34	33	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((𝑈‘𝑏) ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
35	34	imim2d 57	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
36	3, 6, 9, 12, 20, 35	finds 7840	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
37	36	imp 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3446   ∩ cin 3912  ∅c0 4287  ifcif 4491  ∪ cuni 4870  ran crn 5639  suc csuc 6324  ‘cfv 6501   ∈ cmpo 7364  ωcom 7807  seq_ωcseqom 8398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-seqom 8399

This theorem is referenced by:  fin23lem21  10284