Theorem fin23lem14 10324

Description: Lemma for fin23 10380. 𝑈 will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a	⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem14	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem14

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘∅))
2	1	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘∅) ≠ ∅))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)))
4		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝑏))
5	4	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)))
7		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘suc 𝑏))
8	7	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
10		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝐴))
11	10	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)))
13		vex 3470	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
14	13	rnex 7896	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑡 ∈ V
15	14	uniex 7724	. . . . 5 ⊢ ∪ ran 𝑡 ∈ V
16		fin23lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)
17	16	seqom0g 8451	. . . . 5 ⊢ (∪ ran 𝑡 ∈ V → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
18	15, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
19		id 22	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → ∪ ran 𝑡 ≠ ∅)
20	18, 19	eqnetrd 3000	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)
21	16	fin23lem12 10322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
23		iftrue 4526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
25		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)
26	24, 25	eqnetrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
27		iffalse 4529	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
29		neqne 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
31	28, 30	eqnetrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
32	26, 31	pm2.61ian 809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
33	22, 32	eqnetrd 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((𝑈‘𝑏) ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
35	34	imim2d 57	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
36	3, 6, 9, 12, 20, 35	finds 7882	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
37	36	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ∩ cin 3939  ∅c0 4314  ifcif 4520  ∪ cuni 4899  ran crn 5667  suc csuc 6356  ‘cfv 6533   ∈ cmpo 7403  ωcom 7848  seq_ωcseqom 8442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-seqom 8443

This theorem is referenced by:  fin23lem21  10330