Theorem fin23lem14 10328

Description: Lemma for fin23 10384. 𝑈 will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a	⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem14	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem14

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘∅))
2	1	neeq1d 3001	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘∅) ≠ ∅))
3	2	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)))
4		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝑏))
5	4	neeq1d 3001	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅))
6	5	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)))
7		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘suc 𝑏))
8	7	neeq1d 3001	. . . 4 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
9	8	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
10		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝐴))
11	10	neeq1d 3001	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
12	11	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)))
13		vex 3479	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
14	13	rnex 7903	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑡 ∈ V
15	14	uniex 7731	. . . . 5 ⊢ ∪ ran 𝑡 ∈ V
16		fin23lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)
17	16	seqom0g 8456	. . . . 5 ⊢ (∪ ran 𝑡 ∈ V → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
18	15, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
19		id 22	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → ∪ ran 𝑡 ≠ ∅)
20	18, 19	eqnetrd 3009	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)
21	16	fin23lem12 10326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
22	21	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
23		iftrue 4535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
24	23	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
25		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)
26	24, 25	eqnetrd 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
27		iffalse 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
28	27	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
29		neqne 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
30	29	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
31	28, 30	eqnetrd 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
32	26, 31	pm2.61ian 811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
33	22, 32	eqnetrd 3009	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)
34	33	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((𝑈‘𝑏) ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
35	34	imim2d 57	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
36	3, 6, 9, 12, 20, 35	finds 7889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
37	36	imp 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  ifcif 4529  ∪ cuni 4909  ran crn 5678  suc csuc 6367  ‘cfv 6544   ∈ cmpo 7411  ωcom 7855  seq_ωcseqom 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448

This theorem is referenced by:  fin23lem21  10334