Theorem fin23lem14 10333

Description: Lemma for fin23 10389. 𝑈 will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a	⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem14	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑖,𝑢   𝐴,𝑖,𝑢   𝑈,𝑖,𝑢

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝑈(𝑡)

Proof of Theorem fin23lem14

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘∅))
2	1	neeq1d 3019	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘∅) ≠ ∅))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)))
4		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝑏))
5	4	neeq1d 3019	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)))
7		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘suc 𝑏))
8	7	neeq1d 3019	. . . 4 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = suc 𝑏 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
10		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑈‘𝑎) = (𝑈‘𝐴))
11	10	neeq1d 3019	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑈‘𝑎) ≠ ∅ ↔ (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑎) ≠ ∅) ↔ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)))
13		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
14	13	rnex 7914	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑡 ∈ V
15	14	uniex 7750	. . . . 5 ⊢ ∪ ran 𝑡 ∈ V
16		fin23lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = seqω((𝑖 ∈ ω, 𝑢 ∈ V ↦ if(((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢) = ∅, 𝑢, ((𝑡‘𝑖) ∩ 𝑢))), ∪ ran 𝑡)
17	16	seqom0g 8450	. . . . 5 ⊢ (∪ ran 𝑡 ∈ V → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
18	15, 17	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) = ∪ ran 𝑡)
19		id 23	. . . 4 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → ∪ ran 𝑡 ≠ ∅)
20	18, 19	eqnetrd 3027	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘∅) ≠ ∅)
21	16	fin23lem12 10331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) = if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))))
23		iftrue 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = (𝑈‘𝑏))
25		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)
26	24, 25	eqnetrd 3027	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
27		iffalse 4498	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) = ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)))
29		neqne 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) ≠ ∅)
31	28, 30	eqnetrd 3027	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅ ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅)) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
32	26, 31	pm2.61ian 824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → if(((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏)) = ∅, (𝑈‘𝑏), ((𝑡‘𝑏) ∩ (𝑈‘𝑏))) ≠ ∅)
33	22, 32	eqnetrd 3027	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)
34	33	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((𝑈‘𝑏) ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅))
35	34	imim2d 58	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ω → ((∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝑏) ≠ ∅) → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘suc 𝑏) ≠ ∅)))
36	3, 6, 9, 12, 20, 35	finds 7900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∪ ran 𝑡 ≠ ∅ → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅))
37	36	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∪ ran 𝑡 ≠ ∅) → (𝑈‘𝐴) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  ifcif 4489  ∪ cuni 4874  ran crn 5664  suc csuc 6367  ‘cfv 6541   ∈ cmpo 7422  ωcom 7869  seq_ωcseqom 8441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-seqom 8442

This theorem is used by:  fin23lem21  10339