Theorem fissorduni 35594

Description: The union (supremum) of a finite set of ordinals less than a nonzero ordinal class is an element of that ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 15-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fissorduni	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fissorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0eln0 6414	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2	1	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
3		uni0 4896	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
4	3	eleq1i 2851	. . . . . 6 ⊢ (∪ ∅ ∈ 𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐵)
5	4	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ∪ ∅ ∈ 𝐵)
6		unieq 4878	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
7	6	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∪ 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∪ ∅ ∈ 𝐵))
8	5, 7	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	2, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
11		ordsson 7782	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐵 → 𝐵 ⊆ On)
12		sstr 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ On)
13	11, 12	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
14	13	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
15	14	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
17		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
19		ordunifi 9260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
21	20	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
22		ssel 3925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
23	22	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
24	21, 23	syld 48	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
25	10, 24	pm2.61dne 3041	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  Ord word 6356  Oncon0 6357  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-en 8953  df-fin 8956

This theorem is used by:  rankfilimbi  35609