Theorem fissorduni 35345

Description: The union (supremum) of a finite set of ordinals less than a nonzero ordinal class is an element of that ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 15-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fissorduni	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fissorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0eln0 6396	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2	1	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
3		uni0 4891	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
4	3	eleq1i 2852	. . . . . 6 ⊢ (∪ ∅ ∈ 𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐵)
5	4	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ∪ ∅ ∈ 𝐵)
6		unieq 4873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
7	6	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∪ 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∪ ∅ ∈ 𝐵))
8	5, 7	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
11		ordsson 7760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐵 → 𝐵 ⊆ On)
12		sstr 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ On)
13	11, 12	sylan2 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
14	13	adantrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
15	14	3adant1 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
17		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
19		ordunifi 9227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
21	20	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
22		ssel 3928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
23	22	3ad2ant2 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
24	21, 23	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
25	10, 24	pm2.61dne 3042	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ∪ cuni 4862  Ord word 6339  Oncon0 6340  Fincfn 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-om 7841  df-en 8921  df-fin 8924

This theorem is referenced by:  rankfilimbi  35357