Theorem fissorduni 35461

Description: The union (supremum) of a finite set of ordinals less than a nonzero ordinal class is an element of that ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 15-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fissorduni	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fissorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0eln0 6419	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2	1	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
3		uni0 4902	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
4	3	eleq1i 2854	. . . . . 6 ⊢ (∪ ∅ ∈ 𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐵)
5	4	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ∪ ∅ ∈ 𝐵)
6		unieq 4884	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
7	6	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∪ 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∪ ∅ ∈ 𝐵))
8	5, 7	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	2, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
11		ordsson 7783	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐵 → 𝐵 ⊆ On)
12		sstr 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ On)
13	11, 12	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
14	13	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
15	14	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
17		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
19		ordunifi 9251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
21	20	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
22		ssel 3932	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
23	22	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
24	21, 23	syld 48	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
25	10, 24	pm2.61dne 3044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ∪ cuni 4873  Ord word 6361  Oncon0 6362  Fincfn 8944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-en 8945  df-fin 8948

This theorem is referenced by:  rankfilimbi  35476