Theorem fissorduni 35419

Description: The union (supremum) of a finite set of ordinals less than a nonzero ordinal class is an element of that ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 15-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fissorduni	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fissorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0eln0 6414	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2	1	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
3		uni0 4902	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
4	3	eleq1i 2860	. . . . . 6 ⊢ (∪ ∅ ∈ 𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐵)
5	4	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ∪ ∅ ∈ 𝐵)
6		unieq 4884	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
7	6	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∪ 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∪ ∅ ∈ 𝐵))
8	5, 7	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	2, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
11		ordsson 7778	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐵 → 𝐵 ⊆ On)
12		sstr 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ On)
13	11, 12	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
14	13	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
15	14	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
17		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
19		ordunifi 9246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
21	20	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
22		ssel 3939	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
23	22	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
24	21, 23	syld 48	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
25	10, 24	pm2.61dne 3050	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ cuni 4873  Ord word 6356  Oncon0 6357  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7859  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  rankfilimbi  35433