Theorem fissorduni 35265

Description: The union (supremum) of a finite set of ordinals less than a nonzero ordinal class is an element of that ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 15-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fissorduni	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fissorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0eln0 6381	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2	1	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
3		uni0 4893	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ = ∅
4	3	eleq1i 2828	. . . . . 6 ⊢ (∪ ∅ ∈ 𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐵)
5	4	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → ∪ ∅ ∈ 𝐵)
6		unieq 4876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
7	6	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∪ 𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∪ ∅ ∈ 𝐵))
8	5, 7	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
10	9	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
11		ordsson 7738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐵 → 𝐵 ⊆ On)
12		sstr 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ On)
13	11, 12	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
14	13	adantrr 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
15	14	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐴 ⊆ On)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ On)
17		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
19		ordunifi 9202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
22		ssel 3929	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
23	22	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
24	21, 23	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝐴 ≠ ∅ → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵))
25	10, 24	pm2.61dne 3019	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (Ord 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  Ord word 6324  Oncon0 6325  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  rankfilimbi  35276