| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | fzssuz 13605 |
. . . 4
⊢
(0...𝐵) ⊆
(ℤ≥‘0) |
| 2 | | uzssz 12899 |
. . . . 5
⊢
(ℤ≥‘0) ⊆ ℤ |
| 3 | | zssre 12620 |
. . . . 5
⊢ ℤ
⊆ ℝ |
| 4 | 2, 3 | sstri 3993 |
. . . 4
⊢
(ℤ≥‘0) ⊆ ℝ |
| 5 | 1, 4 | sstri 3993 |
. . 3
⊢
(0...𝐵) ⊆
ℝ |
| 6 | 5 | a1i 11 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (0...𝐵) ⊆
ℝ) |
| 7 | | ovexd 7466 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (0...(𝐵 − 1))
∈ V) |
| 8 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈
ℕ0) |
| 9 | 8 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (𝐵 − 1) ∈
ℕ0) |
| 10 | | nn0uz 12920 |
. . . 4
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
| 11 | 9, 10 | eleqtrdi 2851 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (𝐵 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 12 | | nnz 12634 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℤ) |
| 13 | 12 | adantl 481 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ 𝐵 ∈
ℤ) |
| 14 | | nnre 12273 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 15 | 14 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ 𝐵 ∈
ℝ) |
| 16 | 15 | ltm1d 12200 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (𝐵 − 1) <
𝐵) |
| 17 | | fzsdom2 14467 |
. . 3
⊢ ((((𝐵 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → (0...(𝐵 − 1)) ≺ (0...𝐵)) |
| 18 | 11, 13, 16, 17 | syl21anc 838 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ (0...(𝐵 − 1))
≺ (0...𝐵)) |
| 19 | 14 | ad2antlr 727 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 20 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℝ+
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
| 21 | 20 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 22 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ) |
| 23 | 22 | zred 12722 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ) |
| 24 | 23 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ) |
| 25 | 21, 24 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ) |
| 26 | | 1rp 13038 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
| 27 | | modcl 13913 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ) |
| 28 | 25, 26, 27 | sylancl 586 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ) |
| 29 | 19, 28 | remulcld 11291 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ) |
| 30 | 29 | flcld 13838 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ) |
| 31 | 19 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 32 | 31 | mul01d 11460 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0) |
| 33 | | modge0 13919 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) |
| 34 | 25, 26, 33 | sylancl 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) |
| 35 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈
ℝ) |
| 36 | | nngt0 12297 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 <
𝐵) |
| 37 | 36 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵) |
| 38 | | lemul2 12120 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ ((𝐴
· 𝑎) mod 1) ∈
ℝ ∧ (𝐵 ∈
ℝ ∧ 0 < 𝐵))
→ (0 ≤ ((𝐴 ·
𝑎) mod 1) ↔ (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))) |
| 39 | 35, 28, 19, 37, 38 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ↔ (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))) |
| 40 | 34, 39 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
| 41 | 32, 40 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
| 42 | 35, 29 | lenltd 11407 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ↔ ¬ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0)) |
| 43 | 41, 42 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ¬ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0) |
| 44 | | 0z 12624 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ∈
ℤ |
| 45 | | fllt 13846 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈
ℤ) → ((𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0 ↔
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) <
0)) |
| 46 | 29, 44, 45 | sylancl 586 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0 ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 0)) |
| 47 | 43, 46 | mtbid 324 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ¬
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) <
0) |
| 48 | 30 | zred 12722 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℝ) |
| 49 | 35, 48 | lenltd 11407 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ↔ ¬
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) <
0)) |
| 50 | 47, 49 | mpbird 257 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1)))) |
| 51 | | elnn0z 12626 |
. . . 4
⊢
((⌊‘(𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈
ℕ0 ↔ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))))) |
| 52 | 30, 50, 51 | sylanbrc 583 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈
ℕ0) |
| 53 | 8 | ad2antlr 727 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈
ℕ0) |
| 54 | | flle 13839 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
| 55 | 29, 54 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) |
| 56 | | modlt 13920 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ+) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1) |
| 57 | 25, 26, 56 | sylancl 586 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1) |
| 58 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈
ℝ) |
| 59 | | ltmul2 12118 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ ∧ (𝐵 ∈
ℝ ∧ 0 < 𝐵))
→ (((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1 ↔ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1))) |
| 60 | 28, 58, 19, 37, 59 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1 ↔ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1))) |
| 61 | 57, 60 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1)) |
| 62 | 31 | mulridd 11278 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵) |
| 63 | 61, 62 | breqtrd 5169 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 𝐵) |
| 64 | 48, 29, 19, 55, 63 | lelttrd 11419 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 𝐵) |
| 65 | | nncn 12274 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 66 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 67 | | npcan 11517 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → ((𝐵 −
1) + 1) = 𝐵) |
| 68 | 65, 66, 67 | sylancl 586 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵) |
| 69 | 68 | ad2antlr 727 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵) |
| 70 | 64, 69 | breqtrrd 5171 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1)) |
| 71 | 12 | ad2antlr 727 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ) |
| 72 | | 1z 12647 |
. . . . . 6
⊢ 1 ∈
ℤ |
| 73 | | zsubcl 12659 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ∈
ℤ) → (𝐵 −
1) ∈ ℤ) |
| 74 | 71, 72, 73 | sylancl 586 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ) |
| 75 | | zleltp1 12668 |
. . . . 5
⊢
(((⌊‘(𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ ∧
(𝐵 − 1) ∈
ℤ) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1) ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1))) |
| 76 | 30, 74, 75 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1) ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1))) |
| 77 | 70, 76 | mpbird 257 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1)) |
| 78 | | elfz2nn0 13658 |
. . 3
⊢
((⌊‘(𝐵
· ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔
((⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈
ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ0 ∧
(⌊‘(𝐵 ·
((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1))) |
| 79 | 52, 53, 77, 78 | syl3anbrc 1344 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ (0...(𝐵 − 1))) |
| 80 | | oveq2 7439 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑎) = (𝐴 · 𝑥)) |
| 81 | 80 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑥) mod 1)) |
| 82 | 81 | oveq2d 7447 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) |
| 83 | 82 | fveq2d 6910 |
. 2
⊢ (𝑎 = 𝑥 → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)))) |
| 84 | | oveq2 7439 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑎) = (𝐴 · 𝑦)) |
| 85 | 84 | oveq1d 7446 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑦) mod 1)) |
| 86 | 85 | oveq2d 7447 |
. . 3
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))) |
| 87 | 86 | fveq2d 6910 |
. 2
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))) |
| 88 | 6, 7, 18, 79, 83, 87 | fphpdo 42828 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+
∧ 𝐵 ∈ ℕ)
→ ∃𝑥 ∈
(0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))) |