Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem1 42143
Description: Lemma for irrapx1 42149. Divides the unit interval into ๐ต half-open sections and using the pigeonhole principle fphpdo 42138 finds two multiples of ๐ด in the same section mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (0...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐ต)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem irrapxlem1
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 13548 . . . 4 (0...๐ต) โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 uzssz 12847 . . . . 5 (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โІ โ„ค
3 zssre 12569 . . . . 5 โ„ค โІ โ„
42, 3sstri 3986 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โІ โ„
51, 4sstri 3986 . . 3 (0...๐ต) โІ โ„
65a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0...๐ต) โІ โ„)
7 ovexd 7440 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ V)
8 nnm1nn0 12517 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
98adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
10 nn0uz 12868 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
119, 10eleqtrdi 2837 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
12 nnz 12583 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1312adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
14 nnre 12223 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1514adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1615ltm1d 12150 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) < ๐ต)
17 fzsdom2 14393 . . 3 ((((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆ’ 1) < ๐ต) โ†’ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โ‰บ (0...๐ต))
1811, 13, 16, 17syl21anc 835 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โ‰บ (0...๐ต))
1914ad2antlr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
20 rpre 12988 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2120ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
22 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
2322zred 12670 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
2521, 24remulcld 11248 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
26 1rp 12984 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
27 modcl 13844 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„)
2825, 26, 27sylancl 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„)
2919, 28remulcld 11248 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โˆˆ โ„)
3029flcld 13769 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„ค)
3119recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3231mul01d 11417 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
33 modge0 13850 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))
3425, 26, 33sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))
35 0red 11221 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
36 nngt0 12247 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
3736ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
38 lemul2 12071 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โ†” (๐ต ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))))
3935, 28, 19, 37, 38syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โ†” (๐ต ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))))
4034, 39mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
4132, 40eqbrtrrd 5165 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
4235, 29lenltd 11364 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โ†” ยฌ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0))
4341, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ยฌ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0)
44 0z 12573 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
45 fllt 13777 . . . . . . 7 (((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0 โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0))
4629, 44, 45sylancl 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0 โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0))
4743, 46mtbid 324 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ยฌ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0)
4830zred 12670 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„)
4935, 48lenltd 11364 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ†” ยฌ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0))
5047, 49mpbird 257 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))))
51 elnn0z 12575 . . . 4 ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))))
5230, 50, 51sylanbrc 582 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„•0)
538ad2antlr 724 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
54 flle 13770 . . . . . . 7 ((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
5529, 54syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
56 modlt 13851 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1)
5725, 26, 56sylancl 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1)
58 1red 11219 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
59 ltmul2 12069 . . . . . . . . 9 ((((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1 โ†” (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < (๐ต ยท 1)))
6028, 58, 19, 37, 59syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1 โ†” (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < (๐ต ยท 1)))
6157, 60mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < (๐ต ยท 1))
6231mulridd 11235 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
6361, 62breqtrd 5167 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < ๐ต)
6448, 29, 19, 55, 63lelttrd 11376 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ๐ต)
65 nncn 12224 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
66 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
67 npcan 11473 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) + 1) = ๐ต)
6865, 66, 67sylancl 585 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) + 1) = ๐ต)
6968ad2antlr 724 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) + 1) = ๐ต)
7064, 69breqtrrd 5169 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ((๐ต โˆ’ 1) + 1))
7112ad2antlr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
72 1z 12596 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„ค
73 zsubcl 12608 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7471, 72, 73sylancl 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
75 zleltp1 12617 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ((๐ต โˆ’ 1) + 1)))
7630, 74, 75syl2anc 583 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ((๐ต โˆ’ 1) + 1)))
7770, 76mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1))
78 elfz2nn0 13598 . . 3 ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1)))
7952, 53, 77, 78syl3anbrc 1340 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1)))
80 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
8180oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))
8281oveq2d 7421 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) = (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1)))
8382fveq2d 6889 . 2 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))))
84 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) = (๐ด ยท ๐‘ฆ))
8584oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1))
8685oveq2d 7421 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) = (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1)))
8786fveq2d 6889 . 2 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1))))
886, 7, 18, 79, 83, 87fphpdo 42138 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (0...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐ต)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ‰บ csdm 8940  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  irrapxlem2  42144
  Copyright terms: Public domain W3C validator