Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem1 41188
Description: Lemma for irrapx1 41194. Divides the unit interval into ๐ต half-open sections and using the pigeonhole principle fphpdo 41183 finds two multiples of ๐ด in the same section mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (0...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐ต)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem irrapxlem1
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 13488 . . . 4 (0...๐ต) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 uzssz 12789 . . . . 5 (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โŠ† โ„ค
3 zssre 12511 . . . . 5 โ„ค โŠ† โ„
42, 3sstri 3954 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โŠ† โ„
51, 4sstri 3954 . . 3 (0...๐ต) โŠ† โ„
65a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0...๐ต) โŠ† โ„)
7 ovexd 7393 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ V)
8 nnm1nn0 12459 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
98adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
10 nn0uz 12810 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
119, 10eleqtrdi 2844 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
12 nnz 12525 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
1312adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
14 nnre 12165 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1514adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1615ltm1d 12092 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) < ๐ต)
17 fzsdom2 14334 . . 3 ((((๐ต โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆ’ 1) < ๐ต) โ†’ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โ‰บ (0...๐ต))
1811, 13, 16, 17syl21anc 837 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โ‰บ (0...๐ต))
1914ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
20 rpre 12928 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2120ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
22 elfzelz 13447 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
2322zred 12612 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
2423adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
2521, 24remulcld 11190 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
26 1rp 12924 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
27 modcl 13784 . . . . . . 7 (((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„)
2825, 26, 27sylancl 587 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„)
2919, 28remulcld 11190 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โˆˆ โ„)
3029flcld 13709 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„ค)
3119recnd 11188 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3231mul01d 11359 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
33 modge0 13790 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))
3425, 26, 33sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))
35 0red 11163 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
36 nngt0 12189 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
38 lemul2 12013 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โ†” (๐ต ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))))
3935, 28, 19, 37, 38syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โ†” (๐ต ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))))
4034, 39mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
4132, 40eqbrtrrd 5130 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
4235, 29lenltd 11306 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โ†” ยฌ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0))
4341, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ยฌ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0)
44 0z 12515 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„ค
45 fllt 13717 . . . . . . 7 (((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0 โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0))
4629, 44, 45sylancl 587 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < 0 โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0))
4743, 46mtbid 324 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ยฌ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0)
4830zred 12612 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„)
4935, 48lenltd 11306 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ†” ยฌ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < 0))
5047, 49mpbird 257 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))))
51 elnn0z 12517 . . . 4 ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))))
5230, 50, 51sylanbrc 584 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„•0)
538ad2antlr 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
54 flle 13710 . . . . . . 7 ((๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
5529, 54syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)))
56 modlt 13791 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1)
5725, 26, 56sylancl 587 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1)
58 1red 11161 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
59 ltmul2 12011 . . . . . . . . 9 ((((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1 โ†” (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < (๐ต ยท 1)))
6028, 58, 19, 37, 59syl112anc 1375 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) < 1 โ†” (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < (๐ต ยท 1)))
6157, 60mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < (๐ต ยท 1))
6231mulid1d 11177 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
6361, 62breqtrd 5132 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) < ๐ต)
6448, 29, 19, 55, 63lelttrd 11318 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ๐ต)
65 nncn 12166 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
66 ax-1cn 11114 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
67 npcan 11415 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) + 1) = ๐ต)
6865, 66, 67sylancl 587 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) + 1) = ๐ต)
6968ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) + 1) = ๐ต)
7064, 69breqtrrd 5134 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ((๐ต โˆ’ 1) + 1))
7112ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
72 1z 12538 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„ค
73 zsubcl 12550 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
7471, 72, 73sylancl 587 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
75 zleltp1 12559 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ((๐ต โˆ’ 1) + 1)))
7630, 74, 75syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) < ((๐ต โˆ’ 1) + 1)))
7770, 76mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1))
78 elfz2nn0 13538 . . 3 ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1)) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โ‰ค (๐ต โˆ’ 1)))
7952, 53, 77, 78syl3anbrc 1344 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (0...๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) โˆˆ (0...(๐ต โˆ’ 1)))
80 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
8180oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))
8281oveq2d 7374 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) = (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1)))
8382fveq2d 6847 . 2 (๐‘Ž = ๐‘ฅ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))))
84 oveq2 7366 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) = (๐ด ยท ๐‘ฆ))
8584oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1) = ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1))
8685oveq2d 7374 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1)) = (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1)))
8786fveq2d 6847 . 2 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘Ž) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1))))
886, 7, 18, 79, 83, 87fphpdo 41183 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (0...๐ต)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐ต)(๐‘ฅ < ๐‘ฆ โˆง (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฅ) mod 1))) = (โŒŠโ€˜(๐ต ยท ((๐ด ยท ๐‘ฆ) mod 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ‰บ csdm 8885  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920  ...cfz 13430  โŒŠcfl 13701   mod cmo 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  irrapxlem2  41189
  Copyright terms: Public domain W3C validator