Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem1 40644
Description: Lemma for irrapx1 40650. Divides the unit interval into 𝐵 half-open sections and using the pigeonhole principle fphpdo 40639 finds two multiples of 𝐴 in the same section mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem irrapxlem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 13297 . . . 4 (0...𝐵) ⊆ (ℤ‘0)
2 uzssz 12603 . . . . 5 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
3 zssre 12326 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
42, 3sstri 3930 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℝ
51, 4sstri 3930 . . 3 (0...𝐵) ⊆ ℝ
65a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (0...𝐵) ⊆ ℝ)
7 ovexd 7310 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (0...(𝐵 − 1)) ∈ V)
8 nnm1nn0 12274 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
98adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
10 nn0uz 12620 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtrdi 2849 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘0))
12 nnz 12342 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
1312adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
14 nnre 11980 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615ltm1d 11907 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
17 fzsdom2 14143 . . 3 ((((𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → (0...(𝐵 − 1)) ≺ (0...𝐵))
1811, 13, 16, 17syl21anc 835 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → (0...(𝐵 − 1)) ≺ (0...𝐵))
1914ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20 rpre 12738 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
22 elfzelz 13256 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℤ)
2322zred 12426 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (0...𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝑎 ∈ ℝ)
2521, 24remulcld 11005 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ)
26 1rp 12734 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
27 modcl 13593 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ)
2825, 26, 27sylancl 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ)
2919, 28remulcld 11005 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ)
3029flcld 13518 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ)
3119recnd 11003 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3231mul01d 11174 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
33 modge0 13599 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1))
3425, 26, 33sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1))
35 0red 10978 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
36 nngt0 12004 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
3736ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 < 𝐵)
38 lemul2 11828 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ↔ (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))))
3935, 28, 19, 37, 38syl112anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤ ((𝐴 · 𝑎) mod 1) ↔ (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))))
4034, 39mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 0) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
4132, 40eqbrtrrd 5098 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
4235, 29lenltd 11121 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ↔ ¬ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0))
4341, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ¬ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0)
44 0z 12330 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
45 fllt 13526 . . . . . . 7 (((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0 ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 0))
4629, 44, 45sylancl 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 0 ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 0))
4743, 46mtbid 324 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ¬ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 0)
4830zred 12426 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℝ)
4935, 48lenltd 11121 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (0 ≤ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ↔ ¬ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 0))
5047, 49mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 0 ≤ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))))
51 elnn0z 12332 . . . 4 ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))))
5230, 50, 51sylanbrc 583 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℕ0)
538ad2antlr 724 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℕ0)
54 flle 13519 . . . . . . 7 ((𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
5529, 54syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)))
56 modlt 13600 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1)
5725, 26, 56sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1)
58 1red 10976 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
59 ltmul2 11826 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 · 𝑎) mod 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1 ↔ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1)))
6028, 58, 19, 37, 59syl112anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (((𝐴 · 𝑎) mod 1) < 1 ↔ (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1)))
6157, 60mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < (𝐵 · 1))
6231mulid1d 10992 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
6361, 62breqtrd 5100 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) < 𝐵)
6448, 29, 19, 55, 63lelttrd 11133 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < 𝐵)
65 nncn 11981 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
66 ax-1cn 10929 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
67 npcan 11230 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
6865, 66, 67sylancl 586 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
6968ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
7064, 69breqtrrd 5102 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1))
7112ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
72 1z 12350 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
73 zsubcl 12362 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
7471, 72, 73sylancl 586 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
75 zleltp1 12371 . . . . 5 (((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1) ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1)))
7630, 74, 75syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1) ↔ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) < ((𝐵 − 1) + 1)))
7770, 76mpbird 256 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1))
78 elfz2nn0 13347 . . 3 ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ (0...(𝐵 − 1)) ↔ ((⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ≤ (𝐵 − 1)))
7952, 53, 77, 78syl3anbrc 1342 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (0...𝐵)) → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) ∈ (0...(𝐵 − 1)))
80 oveq2 7283 . . . . 5 (𝑎 = 𝑥 → (𝐴 · 𝑎) = (𝐴 · 𝑥))
8180oveq1d 7290 . . . 4 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑥) mod 1))
8281oveq2d 7291 . . 3 (𝑎 = 𝑥 → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1)))
8382fveq2d 6778 . 2 (𝑎 = 𝑥 → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))))
84 oveq2 7283 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑎) = (𝐴 · 𝑦))
8584oveq1d 7290 . . . 4 (𝑎 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑎) mod 1) = ((𝐴 · 𝑦) mod 1))
8685oveq2d 7291 . . 3 (𝑎 = 𝑦 → (𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1)) = (𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))
8786fveq2d 6778 . 2 (𝑎 = 𝑦 → (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑎) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1))))
886, 7, 18, 79, 83, 87fphpdo 40639 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ (0...𝐵)∃𝑦 ∈ (0...𝐵)(𝑥 < 𝑦 ∧ (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑥) mod 1))) = (⌊‘(𝐵 · ((𝐴 · 𝑦) mod 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  wss 3887   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  csdm 8732  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  +crp 12730  ...cfz 13239  cfl 13510   mod cmo 13589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-hash 14045
This theorem is referenced by:  irrapxlem2  40645
  Copyright terms: Public domain W3C validator