MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsucmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frsucmpt 7739
Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation (special case where the generation function is expressed in maps-to notation). (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Scott Fenton, 2-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
frsucmpt.1 𝑥𝐴
frsucmpt.2 𝑥𝐵
frsucmpt.3 𝑥𝐷
frsucmpt.4 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)
frsucmpt.5 (𝑥 = (𝐹𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
frsucmpt ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐷𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem frsucmpt
StepHypRef Expression
1 frsuc 7738 . . 3 (𝐵 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))
2 frsucmpt.4 . . . 4 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)
32fveq1i 6378 . . 3 (𝐹‘suc 𝐵) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵)
42fveq1i 6378 . . . 4 (𝐹𝐵) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)
54fveq2i 6380 . . 3 ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘𝐵))
61, 3, 53eqtr4g 2824 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)))
7 fvex 6390 . . 3 (𝐹𝐵) ∈ V
8 nfmpt1 4908 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
9 frsucmpt.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
108, 9nfrdg 7716 . . . . . . 7 𝑥rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
11 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥ω
1210, 11nfres 5569 . . . . . 6 𝑥(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)
132, 12nfcxfr 2905 . . . . 5 𝑥𝐹
14 frsucmpt.2 . . . . 5 𝑥𝐵
1513, 14nffv 6387 . . . 4 𝑥(𝐹𝐵)
16 frsucmpt.3 . . . 4 𝑥𝐷
17 frsucmpt.5 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
18 eqid 2765 . . . 4 (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
1915, 16, 17, 18fvmptf 6492 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ V ∧ 𝐷𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)) = 𝐷)
207, 19mpan 681 . 2 (𝐷𝑉 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)) = 𝐷)
216, 20sylan9eq 2819 1 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐷𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  Vcvv 3350  cmpt 4890  cres 5281  suc csuc 5912  cfv 6070  ωcom 7265  reccrdg 7711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712
This theorem is referenced by:  frsucmpt2  7741  dffi3  8546  axdclem  9596  trpredlem1  32173  trpredtr  32176  trpredmintr  32177  trpred0  32182  trpredrec  32184
  Copyright terms: Public domain W3C validator