MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frsucmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frsucmpt 8173
Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation (special case where the generation function is expressed in maps-to notation). (Contributed by NM, 14-Sep-2003.) (Revised by Scott Fenton, 2-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
frsucmpt.1 𝑥𝐴
frsucmpt.2 𝑥𝐵
frsucmpt.3 𝑥𝐷
frsucmpt.4 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)
frsucmpt.5 (𝑥 = (𝐹𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
frsucmpt ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐷𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem frsucmpt
StepHypRef Expression
1 frsuc 8172 . . 3 (𝐵 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)))
2 frsucmpt.4 . . . 4 𝐹 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)
32fveq1i 6718 . . 3 (𝐹‘suc 𝐵) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘suc 𝐵)
42fveq1i 6718 . . . 4 (𝐹𝐵) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘𝐵)
54fveq2i 6720 . . 3 ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)‘𝐵))
61, 3, 53eqtr4g 2803 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)))
7 fvex 6730 . . 3 (𝐹𝐵) ∈ V
8 nfmpt1 5153 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
9 frsucmpt.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
108, 9nfrdg 8150 . . . . . . 7 𝑥rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴)
11 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑥ω
1210, 11nfres 5853 . . . . . 6 𝑥(rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) ↾ ω)
132, 12nfcxfr 2902 . . . . 5 𝑥𝐹
14 frsucmpt.2 . . . . 5 𝑥𝐵
1513, 14nffv 6727 . . . 4 𝑥(𝐹𝐵)
16 frsucmpt.3 . . . 4 𝑥𝐷
17 frsucmpt.5 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
18 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
1915, 16, 17, 18fvmptf 6839 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ V ∧ 𝐷𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)) = 𝐷)
207, 19mpan 690 . 2 (𝐷𝑉 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘(𝐹𝐵)) = 𝐷)
216, 20sylan9eq 2798 1 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐷𝑉) → (𝐹‘suc 𝐵) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wnfc 2884  Vcvv 3408  cmpt 5135  cres 5553  suc csuc 6215  cfv 6380  ωcom 7644  reccrdg 8145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146
This theorem is referenced by:  frsucmpt2w  8175  frsucmpt2  8176  dffi3  9047  trpredlem1  9332  trpredtr  9335  trpredmintr  9336  trpred0  9337  trpredrec  9342  axdclem  10133
  Copyright terms: Public domain W3C validator