MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdclem 9933
Description: Lemma for axdc 9935. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem.1 𝐹 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧})), 𝑠) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
axdclem ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐾 ∈ ω → (𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝑔   𝑦,𝑠   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑔,𝑠)   𝐾(𝑥,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem axdclem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3076 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑦 ≠ ∅ ↔ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ≠ ∅))
2 abn0 4334 . . . . . . 7 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧)
31, 2syl6bb 289 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧))
4 eleq2 2899 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
5 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝐾)𝑥𝑤 ↔ (𝐹𝐾)𝑥𝑧))
65cbvabv 2887 . . . . . . . . . 10 {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}
76eleq2i 2902 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
84, 7syl6bbr 291 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤}))
9 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑦) ∈ V
10 breq2 5061 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑔𝑦) → ((𝐹𝐾)𝑥𝑤 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦)))
119, 10elab 3665 . . . . . . . 8 ((𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦))
128, 11syl6bb 289 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦)))
13 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑔𝑦) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
1413breq2d 5069 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦) ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
1512, 14bitrd 281 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
163, 15imbi12d 347 . . . . 5 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
1716rspcv 3616 . . . 4 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
18 fvex 6676 . . . . . . . 8 (𝐹𝐾) ∈ V
19 vex 3496 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
2018, 19brelrn 5805 . . . . . . 7 ((𝐹𝐾)𝑥𝑧𝑧 ∈ ran 𝑥)
2120abssi 4044 . . . . . 6 {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ ran 𝑥
22 sstr 3973 . . . . . 6 (({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ ran 𝑥 ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥) → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
2321, 22mpan 688 . . . . 5 (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
24 vex 3496 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2524dmex 7608 . . . . . 6 dom 𝑥 ∈ V
2625elpw2 5239 . . . . 5 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥 ↔ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
2723, 26sylibr 236 . . . 4 (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥)
2817, 27syl11 33 . . 3 (∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
29283imp 1105 . 2 ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
30 fvex 6676 . . . 4 (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}) ∈ V
31 nfcv 2975 . . . . 5 𝑦𝑠
32 nfcv 2975 . . . . 5 𝑦𝐾
33 nfcv 2975 . . . . 5 𝑦(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
34 axdclem.1 . . . . 5 𝐹 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧})), 𝑠) ↾ ω)
35 breq1 5060 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝐾) → (𝑦𝑥𝑧 ↔ (𝐹𝐾)𝑥𝑧))
3635abbidv 2883 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝐾) → {𝑧𝑦𝑥𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
3736fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝐾) → (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧}) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
3831, 32, 33, 34, 37frsucmpt 8065 . . . 4 ((𝐾 ∈ ω ∧ (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}) ∈ V) → (𝐹‘suc 𝐾) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
3930, 38mpan2 689 . . 3 (𝐾 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐾) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
4039breq2d 5069 . 2 (𝐾 ∈ ω → ((𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾) ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
4129, 40syl5ibrcom 249 1 ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐾 ∈ ω → (𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  {cab 2797  wne 3014  wral 3136  Vcvv 3493  wss 3934  c0 4289  𝒫 cpw 4537   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  suc csuc 6186  cfv 6348  ωcom 7572  reccrdg 8037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038
This theorem is referenced by:  axdclem2  9934
  Copyright terms: Public domain W3C validator