Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdclem 9933
 Description: Lemma for axdc 9935. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem.1 𝐹 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧})), 𝑠) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
axdclem ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐾 ∈ ω → (𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝑔   𝑦,𝑠   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑔,𝑠)   𝐾(𝑥,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem axdclem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3076 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑦 ≠ ∅ ↔ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ≠ ∅))
2 abn0 4334 . . . . . . 7 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧)
31, 2syl6bb 289 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧))
4 eleq2 2899 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
5 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝐾)𝑥𝑤 ↔ (𝐹𝐾)𝑥𝑧))
65cbvabv 2887 . . . . . . . . . 10 {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}
76eleq2i 2902 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
84, 7syl6bbr 291 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤}))
9 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑦) ∈ V
10 breq2 5061 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑔𝑦) → ((𝐹𝐾)𝑥𝑤 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦)))
119, 10elab 3665 . . . . . . . 8 ((𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦))
128, 11syl6bb 289 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦)))
13 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑔𝑦) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
1413breq2d 5069 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦) ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
1512, 14bitrd 281 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
163, 15imbi12d 347 . . . . 5 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
1716rspcv 3616 . . . 4 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
18 fvex 6676 . . . . . . . 8 (𝐹𝐾) ∈ V
19 vex 3496 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
2018, 19brelrn 5805 . . . . . . 7 ((𝐹𝐾)𝑥𝑧𝑧 ∈ ran 𝑥)
2120abssi 4044 . . . . . 6 {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ ran 𝑥
22 sstr 3973 . . . . . 6 (({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ ran 𝑥 ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥) → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
2321, 22mpan 688 . . . . 5 (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
24 vex 3496 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2524dmex 7608 . . . . . 6 dom 𝑥 ∈ V
2625elpw2 5239 . . . . 5 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥 ↔ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
2723, 26sylibr 236 . . . 4 (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥)
2817, 27syl11 33 . . 3 (∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
29283imp 1105 . 2 ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
30 fvex 6676 . . . 4 (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}) ∈ V
31 nfcv 2975 . . . . 5 𝑦𝑠
32 nfcv 2975 . . . . 5 𝑦𝐾
33 nfcv 2975 . . . . 5 𝑦(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
34 axdclem.1 . . . . 5 𝐹 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧})), 𝑠) ↾ ω)
35 breq1 5060 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝐾) → (𝑦𝑥𝑧 ↔ (𝐹𝐾)𝑥𝑧))
3635abbidv 2883 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝐾) → {𝑧𝑦𝑥𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
3736fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝐾) → (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧}) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
3831, 32, 33, 34, 37frsucmpt 8065 . . . 4 ((𝐾 ∈ ω ∧ (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}) ∈ V) → (𝐹‘suc 𝐾) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
3930, 38mpan2 689 . . 3 (𝐾 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐾) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
4039breq2d 5069 . 2 (𝐾 ∈ ω → ((𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾) ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
4129, 40syl5ibrcom 249 1 ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐾 ∈ ω → (𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1081   = wceq 1530  ∃wex 1773   ∈ wcel 2107  {cab 2797   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4537   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549   ↾ cres 5550  suc csuc 6186  ‘cfv 6348  ωcom 7572  reccrdg 8037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038 This theorem is referenced by:  axdclem2  9934
 Copyright terms: Public domain W3C validator