MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdclem 10559
Description: Lemma for axdc 10561. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdclem.1 𝐹 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧})), 𝑠) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
axdclem ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐾 ∈ ω → (𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝑔   𝑦,𝑠   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑔,𝑠)   𝐾(𝑥,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem axdclem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3003 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑦 ≠ ∅ ↔ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ≠ ∅))
2 abn0 4385 . . . . . . 7 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧)
31, 2bitrdi 287 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧))
4 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
5 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝐾)𝑥𝑤 ↔ (𝐹𝐾)𝑥𝑧))
65cbvabv 2812 . . . . . . . . . 10 {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}
76eleq2i 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
84, 7bitr4di 289 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤}))
9 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝑔𝑦) ∈ V
10 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑔𝑦) → ((𝐹𝐾)𝑥𝑤 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦)))
119, 10elab 3679 . . . . . . . 8 ((𝑔𝑦) ∈ {𝑤 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑤} ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦))
128, 11bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦)))
13 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → (𝑔𝑦) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
1413breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝐹𝐾)𝑥(𝑔𝑦) ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
1512, 14bitrd 279 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑔𝑦) ∈ 𝑦 ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
163, 15imbi12d 344 . . . . 5 (𝑦 = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} → ((𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
1716rspcv 3618 . . . 4 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
18 fvex 6919 . . . . . . . 8 (𝐹𝐾) ∈ V
19 vex 3484 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
2018, 19brelrn 5953 . . . . . . 7 ((𝐹𝐾)𝑥𝑧𝑧 ∈ ran 𝑥)
2120abssi 4070 . . . . . 6 {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ ran 𝑥
22 sstr 3992 . . . . . 6 (({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ ran 𝑥 ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥) → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
2321, 22mpan 690 . . . . 5 (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
24 vex 3484 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2524dmex 7931 . . . . . 6 dom 𝑥 ∈ V
2625elpw2 5334 . . . . 5 ({𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥 ↔ {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ⊆ dom 𝑥)
2723, 26sylibr 234 . . . 4 (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧} ∈ 𝒫 dom 𝑥)
2817, 27syl11 33 . . 3 (∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) → (ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 → (∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧 → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))))
29283imp 1111 . 2 ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
30 fvex 6919 . . . 4 (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}) ∈ V
31 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦𝑠
32 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦𝐾
33 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
34 axdclem.1 . . . . 5 𝐹 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧})), 𝑠) ↾ ω)
35 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝐾) → (𝑦𝑥𝑧 ↔ (𝐹𝐾)𝑥𝑧))
3635abbidv 2808 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝐾) → {𝑧𝑦𝑥𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})
3736fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝐾) → (𝑔‘{𝑧𝑦𝑥𝑧}) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
3831, 32, 33, 34, 37frsucmpt 8478 . . . 4 ((𝐾 ∈ ω ∧ (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}) ∈ V) → (𝐹‘suc 𝐾) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
3930, 38mpan2 691 . . 3 (𝐾 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐾) = (𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧}))
4039breq2d 5155 . 2 (𝐾 ∈ ω → ((𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾) ↔ (𝐹𝐾)𝑥(𝑔‘{𝑧 ∣ (𝐹𝐾)𝑥𝑧})))
4129, 40syl5ibrcom 247 1 ((∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑥(𝑦 ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦) ∧ ran 𝑥 ⊆ dom 𝑥 ∧ ∃𝑧(𝐹𝐾)𝑥𝑧) → (𝐾 ∈ ω → (𝐹𝐾)𝑥(𝐹‘suc 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  suc csuc 6386  cfv 6561  ωcom 7887  reccrdg 8449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450
This theorem is referenced by:  axdclem2  10560
  Copyright terms: Public domain W3C validator