Theorem fsuppsssuppgd 9285

Description: If the support of a function is a subset of a finite support, it is finite. Deduction associated with fsuppsssupp 9284. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppsssuppgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
fsuppsssuppgd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppsssuppgd.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
fsuppsssuppgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑂)
fsuppsssuppgd.3	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
fsuppsssuppgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppsssuppgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppsssuppgd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		fsuppsssuppgd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
3		fsuppsssuppgd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		fsuppsssuppgd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑂)
5	4	fsuppimpd 9272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑂) ∈ Fin)
6		fsuppsssuppgd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑂))
7		suppssfifsupp 9283	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝐹 supp 𝑂) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑂))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  Fun wfun 6486  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265

This theorem is referenced by:  fsuppss  9286  fsuppssov1  9287  evlsvvvallem  22046  evlsvvvallem2  22047  evlsvvval  22048  fisuppov1  32762  elrgspnlem1  33324  mplvrpmrhm  33712  fldextrspunlsp  33831  selvvvval  42828  evlselv  42830  mhphf  42840