Theorem fsuppsssuppgd 9333

Description: If the support of a function is a subset of a finite support, it is finite. Deduction associated with fsuppsssupp 9332. (Contributed by SN, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppsssuppgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
fsuppsssuppgd.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
fsuppsssuppgd.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
fsuppsssuppgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑂)
fsuppsssuppgd.3	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
fsuppsssuppgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppsssuppgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppsssuppgd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		fsuppsssuppgd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
3		fsuppsssuppgd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
4		fsuppsssuppgd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑂)
5	4	fsuppimpd 9320	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑂) ∈ Fin)
6		fsuppsssuppgd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑂))
7		suppssfifsupp 9331	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ ((𝐹 supp 𝑂) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑂))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  Fun wfun 6505  (class class class)co 7387   supp csupp 8139  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-fin 8922  df-fsupp 9313

This theorem is referenced by:  fsuppss  9334  fsuppssov1  9335  fisuppov1  32606  elrgspnlem1  33193  fldextrspunlsp  33669  evlsvvvallem  42549  evlsvvvallem2  42550  evlsvvval  42551  selvvvval  42573  evlselv  42575  mhphf  42585