Theorem fsuppss 9286

Description: A subset of a finitely supported function is a finitely supported function. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppss.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
fsuppss.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppss	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9266	. . . 4 ⊢ Rel finSupp
2		fsuppss.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
3		brrelex1 5677	. . . 4 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
5		fsuppss.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
6	4, 5	ssexd 5269	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		brrelex2 5678	. . 3 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
8	1, 2, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
9	2	fsuppfund 9273	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
10		funss 6511	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
11	5, 9, 10	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12		funsssuppss 8132	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
13	9, 5, 4, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
14	6, 8, 11, 2, 13	fsuppsssuppgd 9285	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  Rel wrel 5629  Fun wfun 6486  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   finSupp cfsupp 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-supp 8103  df-1o 8397  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265

This theorem is referenced by:  mhphf  42836