Theorem fsuppss 9293

Description: A subset of a finitely supported function is a finitely supported function. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppss.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
fsuppss.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppss	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9273	. . . 4 ⊢ Rel finSupp
2		fsuppss.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
3		brrelex1 5678	. . . 4 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
5		fsuppss.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
6	4, 5	ssexd 5259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		brrelex2 5679	. . 3 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
8	1, 2, 7	sylancr 593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
9	2	fsuppfund 9280	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
10		funss 6511	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
11	5, 9, 10	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12		funsssuppss 8137	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
13	9, 5, 4, 12	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
14	6, 8, 11, 2, 13	fsuppsssuppgd 9292	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  Rel wrel 5630  Fun wfun 6486  (class class class)co 7363   supp csupp 8107   finSupp cfsupp 9271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-supp 8108  df-1o 8402  df-en 8891  df-fin 8894  df-fsupp 9272

This theorem is referenced by:  mhphf  43054