Theorem fsuppss 9296

Description: A subset of a finitely supported function is a finitely supported function. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppss.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
fsuppss.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppss	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9276	. . . 4 ⊢ Rel finSupp
2		fsuppss.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
3		brrelex1 5684	. . . 4 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
5		fsuppss.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
6	4, 5	ssexd 5265	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		brrelex2 5685	. . 3 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
8	1, 2, 7	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
9	2	fsuppfund 9283	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
10		funss 6517	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
11	5, 9, 10	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12		funsssuppss 8140	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
13	9, 5, 4, 12	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
14	6, 8, 11, 2, 13	fsuppsssuppgd 9295	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  Rel wrel 5636  Fun wfun 6492  (class class class)co 7367   supp csupp 8110   finSupp cfsupp 9274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-supp 8111  df-1o 8405  df-en 8894  df-fin 8897  df-fsupp 9275

This theorem is referenced by:  mhphf  43030