Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppss 41524
Description: A subset of a finitely supported function is a finitely supported function. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppss.1 (𝜑𝐹𝐺)
fsuppss.2 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppss (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppss
StepHypRef Expression
1 relfsupp 9358 . . . 4 Rel finSupp
2 fsuppss.2 . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
3 brrelex1 5719 . . . 4 ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 ∈ V)
41, 2, 3sylancr 586 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
5 fsuppss.1 . . 3 (𝜑𝐹𝐺)
64, 5ssexd 5314 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
7 brrelex2 5720 . . 3 ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
81, 2, 7sylancr 586 . 2 (𝜑𝑍 ∈ V)
92fsuppfund 41522 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
10 funss 6557 . . 3 (𝐹𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
115, 9, 10sylc 65 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
12 funsssuppss 8169 . . 3 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
139, 5, 4, 12syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
146, 8, 11, 2, 13fsuppsssuppgd 41523 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  Vcvv 3466  wss 3940   class class class wbr 5138  Rel wrel 5671  Fun wfun 6527  (class class class)co 7401   supp csupp 8140   finSupp cfsupp 9356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-supp 8141  df-1o 8461  df-en 8935  df-fin 8938  df-fsupp 9357
This theorem is referenced by:  mhphf  41624
  Copyright terms: Public domain W3C validator