Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppss 41607
Description: A subset of a finitely supported function is a finitely supported function. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppss.1 (𝜑𝐹𝐺)
fsuppss.2 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppss (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppss
StepHypRef Expression
1 relfsupp 9362 . . . 4 Rel finSupp
2 fsuppss.2 . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
3 brrelex1 5722 . . . 4 ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 ∈ V)
41, 2, 3sylancr 586 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
5 fsuppss.1 . . 3 (𝜑𝐹𝐺)
64, 5ssexd 5317 . 2 (𝜑𝐹 ∈ V)
7 brrelex2 5723 . . 3 ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
81, 2, 7sylancr 586 . 2 (𝜑𝑍 ∈ V)
92fsuppfund 41605 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
10 funss 6560 . . 3 (𝐹𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
115, 9, 10sylc 65 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
12 funsssuppss 8172 . . 3 ((Fun 𝐺𝐹𝐺𝐺 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
139, 5, 4, 12syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
146, 8, 11, 2, 13fsuppsssuppgd 41606 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943   class class class wbr 5141  Rel wrel 5674  Fun wfun 6530  (class class class)co 7404   supp csupp 8143   finSupp cfsupp 9360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-supp 8144  df-1o 8464  df-en 8939  df-fin 8942  df-fsupp 9361
This theorem is referenced by:  mhphf  41707
  Copyright terms: Public domain W3C validator