Theorem fsuppss 9289

Description: A subset of a finitely supported function is a finitely supported function. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppss.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
fsuppss.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppss	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9269	. . . 4 ⊢ Rel finSupp
2		fsuppss.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
3		brrelex1 5677	. . . 4 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
5		fsuppss.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
6	4, 5	ssexd 5261	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		brrelex2 5678	. . 3 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
8	1, 2, 7	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
9	2	fsuppfund 9276	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
10		funss 6511	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
11	5, 9, 10	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12		funsssuppss 8133	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
13	9, 5, 4, 12	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
14	6, 8, 11, 2, 13	fsuppsssuppgd 9288	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  Rel wrel 5629  Fun wfun 6486  (class class class)co 7360   supp csupp 8103   finSupp cfsupp 9267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-supp 8104  df-1o 8398  df-en 8887  df-fin 8890  df-fsupp 9268

This theorem is referenced by:  mhphf  43044