Theorem fsuppss 9274

Description: A subset of a finitely supported function is a finitely supported function. (Contributed by SN, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppss.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
fsuppss.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppss	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 9254	. . . 4 ⊢ Rel finSupp
2		fsuppss.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
3		brrelex1 5672	. . . 4 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
5		fsuppss.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
6	4, 5	ssexd 5264	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
7		brrelex2 5673	. . 3 ⊢ ((Rel finSupp ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
8	1, 2, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
9	2	fsuppfund 9261	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
10		funss 6505	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (Fun 𝐺 → Fun 𝐹))
11	5, 9, 10	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12		funsssuppss 8126	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
13	9, 5, 4, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐺 supp 𝑍))
14	6, 8, 11, 2, 13	fsuppsssuppgd 9273	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  Rel wrel 5624  Fun wfun 6480  (class class class)co 7352   supp csupp 8096   finSupp cfsupp 9252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-supp 8097  df-1o 8391  df-en 8876  df-fin 8879  df-fsupp 9253

This theorem is referenced by:  mhphf  42716