MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzoend 13358
Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoend (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Proof of Theorem fzoend
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵))
2 elfzoel2 13267 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 fzoval 13269 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
51, 4eleqtrd 2841 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
6 elfzuz3 13134 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
8 eluzfz2 13145 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
97, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
109, 4eleqtrrd 2842 1 (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2111  cfv 6398  (class class class)co 7232  1c1 10755  cmin 11087  cz 12201  cuz 12463  ...cfz 13120  ..^cfzo 13263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-pre-lttri 10828
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-id 5470  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-neg 11090  df-z 12202  df-uz 12464  df-fz 13121  df-fzo 13264
This theorem is referenced by:  fzo0end  13359  ssfzo12  13360  lswccatn0lsw  14176  efgsdmi  19150  efgs1b  19154  clwlkclwwlklem2  28110  fzoopth  44523
  Copyright terms: Public domain W3C validator