Theorem fzoend 13720

Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoend	⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Proof of Theorem fzoend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵))
2		elfzoel2 13628	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		fzoval 13630	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
5	1, 4	eleqtrd 2827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
6		elfzuz3 13495	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		eluzfz2 13506	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
10	9, 4	eleqtrrd 2828	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  1c1 11107   − cmin 11441  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-neg 11444  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625

This theorem is referenced by:  fzo0end  13721  ssfzo12  13722  lswccatn0lsw  14538  efgsdmi  19642  efgs1b  19646  clwlkclwwlklem2  29722  fzoopth  46520