Theorem fzoend 13895

Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoend	⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Proof of Theorem fzoend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵))
2		elfzoel2 13795	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		fzoval 13797	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
5	1, 4	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
6		elfzuz3 13656	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		eluzfz2 13668	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
10	9, 4	eleqtrrd 2863	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204   − cmin 11544  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-neg 11547  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792

This theorem is used by:  fzo0end  13896  ssfzo12  13897  fzoopth  13900  lswccatn0lsw  14741  efgsdmi  19951  efgs1b  19955  clwlkclwwlklem2  30596