Theorem fzoend 13793

Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoend	⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Proof of Theorem fzoend

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵))
2		elfzoel2 13695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		fzoval 13697	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
5	1, 4	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
6		elfzuz3 13558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		eluzfz2 13569	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
10	9, 4	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴..^𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   − cmin 11490  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  fzo0end  13794  ssfzo12  13795  fzoopth  13798  lswccatn0lsw  14626  efgsdmi  19765  efgs1b  19769  clwlkclwwlklem2  30029