Theorem efgsdmi 19336

Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsdmi	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19335	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
8	7	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9		fveq2 6771	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
10		fvoveq1 7294	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))
11	10	fveq2d 6775	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
12	11	rneqd 5846	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
13	9, 12	eleq12d 2835	. . 3 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19334	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
15	14	simp3bi 1146	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
16	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
17		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
18		nnuz 12620	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
20		eluzfz1 13262	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
22	14	simp1bi 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
24	23	eldifad 3904	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
25		lencl 14234	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
26		nn0z 12343	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
27		fzoval 13387	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
28	24, 25, 26, 27	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
29	21, 28	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30		fzoend 13476	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
32	13, 16, 31	rspcdva 3563	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
33	8, 32	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  {crab 3070   ∖ cdif 3889  ∅c0 4262  {csn 4567  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575  ∪ ciun 4930   ↦ cmpt 5162   I cid 5489   × cxp 5588  dom cdm 5590  ran crn 5591  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273  1_oc1o 8281  2_oc2o 8282  0cc0 10872  1c1 10873   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12581  ...cfz 13238  ..^cfzo 13381  ♯chash 14042  Word cword 14215   splice csplice 14460  ⟨“cs2 14552   ~_FG cefg 19310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-hash 14043  df-word 14216

This theorem is referenced by:  efgs1b  19340  efgredlemg  19346  efgredlemd  19348  efgredlem  19351