Theorem efgsdmi 19704

Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsdmi	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19703	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
8	7	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9		fveq2 6896	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
10		fvoveq1 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))
11	10	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
12	11	rneqd 5940	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
13	9, 12	eleq12d 2819	. . 3 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19702	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
15	14	simp3bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
16	15	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
17		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
18		nnuz 12903	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
20		eluzfz1 13548	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
22	14	simp1bi 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
23	22	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
24	23	eldifad 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
25		lencl 14524	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
26		nn0z 12621	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
27		fzoval 13673	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
28	24, 25, 26, 27	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
29	21, 28	eleqtrrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30		fzoend 13763	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
32	13, 16, 31	rspcdva 3607	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
33	8, 32	eqeltrd 2825	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  {crab 3418   ∖ cdif 3941  ∅c0 4322  {csn 4630  ⟨cop 4636  ⟨cotp 4638  ∪ ciun 4997   ↦ cmpt 5232   I cid 5575   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  1_oc1o 8480  2_oc2o 8481  0cc0 11145  1c1 11146   − cmin 11481  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  ♯chash 14330  Word cword 14505   splice csplice 14740  ⟨“cs2 14833   ~_FG cefg 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14331  df-word 14506

This theorem is referenced by:  efgs1b  19708  efgredlemg  19714  efgredlemd  19716  efgredlem  19719