MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdmi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem efgsdmi 19637
Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdmi ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)
Proof of Theorem efgsdmi
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
3 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
5 efgred.d . . . 4 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
6 efgred.s . . . 4 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 19636 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜πΉ) = (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
87adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜πΉ) = (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
9 fveq2 6881 . . . 4 (𝑖 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
10 fvoveq1 7424 . . . . . 6 (𝑖 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
1110fveq2d 6885 . . . . 5 (𝑖 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
1211rneqd 5927 . . . 4 (𝑖 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
139, 12eleq12d 2819 . . 3 (𝑖 = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))))
141, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 19635 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
1514simp3bi 1144 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
1615adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
17 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•)
18 nnuz 12861 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1917, 18eleqtrdi 2835 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
20 eluzfz1 13504 . . . . . 6 (((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ 1 ∈ (1...((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2214simp1bi 1142 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}))
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}))
2423eldifad 3952 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ Word π‘Š)
25 lencl 14479 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word π‘Š β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
26 nn0z 12579 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
27 fzoval 13629 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ β†’ (1..^(β™―β€˜πΉ)) = (1...((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2824, 25, 26, 274syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ (1..^(β™―β€˜πΉ)) = (1...((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2921, 28eleqtrrd 2828 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ 1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
30 fzoend 13719 . . . 4 (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
3213, 16, 31rspcdva 3605 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
338, 32eqeltrd 2825 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜πΉ) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424   βˆ– cdif 3937  βˆ…c0 4314  {csn 4620  βŸ¨cop 4626  βŸ¨cotp 4628  βˆͺ ciun 4987   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  1oc1o 8454  2oc2o 8455  0cc0 11105  1c1 11106   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   splice csplice 14695  βŸ¨β€œcs2 14788   ~FG cefg 19611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461
This theorem is referenced by:  efgs1b  19641  efgredlemg  19647  efgredlemd  19649  efgredlem  19652
  Copyright terms: Public domain W3C validator