MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsdmi 18458
Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdmi ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18457 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
87adantr 473 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9 fveq2 6411 . . . 4 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
10 fvoveq1 6901 . . . . . 6 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))
1110fveq2d 6415 . . . . 5 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
1211rneqd 5556 . . . 4 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
139, 12eleq12d 2872 . . 3 (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))))
141, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18456 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
1514simp3bi 1178 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
1615adantr 473 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
17 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
18 nnuz 11967 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
1917, 18syl6eleq 2888 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1))
20 eluzfz1 12602 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
2214simp1bi 1176 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
2322adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
2423eldifad 3781 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
25 lencl 13553 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
26 nn0z 11690 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
27 fzoval 12726 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
2824, 25, 26, 274syl 19 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
2921, 28eleqtrrd 2881 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30 fzoend 12814 . . . 4 (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
3213, 16, 31rspcdva 3503 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
338, 32eqeltrd 2878 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  {crab 3093  cdif 3766  c0 4115  {csn 4368  cop 4374  cotp 4376   ciun 4710  cmpt 4922   I cid 5219   × cxp 5310  dom cdm 5312  ran crn 5313  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  1𝑜c1o 7792  2𝑜c2o 7793  0cc0 10224  1c1 10225  cmin 10556  cn 11312  0cn0 11580  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  chash 13370  Word cword 13534   splice csplice 13819  ⟨“cs2 13926   ~FG cefg 18432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535
This theorem is referenced by:  efgs1b  18462  efgredlemg  18469  efgredlemd  18471  efgredlem  18474  efgredlemOLD  18475
  Copyright terms: Public domain W3C validator