Theorem efgsdmi 19979

Description: Property of the last link in the chain of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsdmi	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦, 𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem efgsdmi

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19978	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
8	7	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9		fveq2 6911	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
10		fvoveq1 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))
11	10	fveq2d 6915	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
12	11	rneqd 5928	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
13	9, 12	eleq12d 2858	. . 3 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1)))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19977	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
15	14	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
17		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ)
18		nnuz 13034	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19	17, 18	eleqtrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
20		eluzfz1 13694	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
22	14	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
24	23	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
25		lencl 14708	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
26		nn0z 12747	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
27		fzoval 13824	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
28	24, 25, 26, 27	4syl 20	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
29	21, 28	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
30		fzoend 13922	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
31	29, 30	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
32	13, 16, 31	rspcdva 3581	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))
33	8, 32	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐹) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(((♯‘𝐹) − 1) − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838  ⟨cotp 4861  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5190   I cid 5550   × cxp 5654  dom cdm 5656  ran crn 5657  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  0cc0 11230  1c1 11231   − cmin 11571  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   splice csplice 14929  ⟨“cs2 15023   ~_FG cefg 19953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689

This theorem is used by:  efgs1b  19983  efgredlemg  19989  efgredlemd  19991  efgredlem  19994