fzoopth - Metamath Proof Explorer

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Theorem fzoopth 13783

Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 13583. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
fzoopth	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

**Proof of Theorem fzoopth**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
2		fzolb 13687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
3	1, 2	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
5	3, 4	eleqtrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
6		elfzouz 13685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝐽))
7		uzss 12880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝐽) → (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐽))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐽))
9	2	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
11		eleq2 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
13	10, 12	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
14		elfzolt3b 13693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
16	15, 4	eleqtrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
17		elfzouz 13685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
18		uzss 12880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → (ℤ_≥‘𝐽) ⊆ (ℤ_≥‘𝑀))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝐽) ⊆ (ℤ_≥‘𝑀))
20	8, 19	eqssd 3981	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑀) = (ℤ_≥‘𝐽))
21		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		uz11 12882	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ_≥‘𝑀) = (ℤ_≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ_≥‘𝑀) = (ℤ_≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
24	20, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 = 𝐽)
25		fzoend 13778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾))
26		elfzoel2 13680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
27		eleq2 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽..^𝐾) = (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
28	27	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
29		elfzo2 13684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁))
30		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		zlem1lt 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
33	32	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
34	33	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ≤ 𝑁))
36	35	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
37	30, 31, 36	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
38	37	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
39	38	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
40	39	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
41	29, 40	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
42	28, 41	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
43	42	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
44	43	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
45	44	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
46	26, 45	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
47	25, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
48	15, 47	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
49		eluz2 12863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
50	49	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
51		uzss 12880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾) → (ℤ_≥‘𝑁) ⊆ (ℤ_≥‘𝐾))
52	48, 50, 51	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑁) ⊆ (ℤ_≥‘𝐾))
53		fzoend 13778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
54		eleq2 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾)))
55		elfzo2 13684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))
56		pm3.2 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
59	58	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
60	55, 59	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
61	54, 60	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
62	61	com3l 89	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
63	53, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
64	9, 63	mpcom 38	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
65	64	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))
66		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
67		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
68		zlem1lt 12649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
69	68	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
70	69	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝐾 → 𝑁 ≤ 𝐾))
71	70	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾))
72	71	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
73		eluz2 12863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
74	66, 67, 72, 73	syl3anbrc 1344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
75		uzss 12880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (ℤ_≥‘𝐾) ⊆ (ℤ_≥‘𝑁))
76	65, 74, 75	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝐾) ⊆ (ℤ_≥‘𝑁))
77	52, 76	eqssd 3981	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝐾))
78		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		uz11 12882	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
80	78, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
81	77, 80	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 = 𝐾)
82	24, 81	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾))
83	82	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))
84		oveq12 7419	. 2 ⊢ ((𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
85	83, 84	impbid1 225	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ⊆ wss 3931 class class class wbr 5124 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 1c1 11135 < clt 11274 ≤ cle 11275 − cmin 11471 ℤcz 12593 ℤ_≥cuz 12857 ..^cfzo 13676

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-nn 12246 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-fz 13530 df-fzo 13677

This theorem is referenced by: fzo0opth 32787 2ffzoeq 47323

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