Theorem fzoopth 13676

Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 13475. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoopth	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

Proof of Theorem fzoopth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
2		fzolb 13579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
3	1, 2	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
5	3, 4	eleqtrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
6		elfzouz 13577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐽))
7		uzss 12772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐽) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝐽))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝐽))
9	2	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
11		eleq2 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
13	10, 12	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
14		elfzolt3b 13585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
16	15, 4	eleqtrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
17		elfzouz 13577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		uzss 12772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐽) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝐽) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
20	8, 19	eqssd 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽))
21		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		uz11 12774	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
24	20, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 = 𝐽)
25		fzoend 13671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾))
26		elfzoel2 13572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
27		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽..^𝐾) = (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
28	27	eqcoms 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
29		elfzo2 13576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁))
30		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		zlem1lt 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
33	32	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
34	33	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ≤ 𝑁))
36	35	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
37	30, 31, 36	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
38	37	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
39	38	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
40	39	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
41	29, 40	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
42	28, 41	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
43	42	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
44	43	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
45	44	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
46	26, 45	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
47	25, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
48	15, 47	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
49		eluz2 12755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
50	49	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
51		uzss 12772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝐾))
52	48, 50, 51	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝐾))
53		fzoend 13671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
54		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾)))
55		elfzo2 13576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))
56		pm3.2 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
59	58	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
60	55, 59	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
61	54, 60	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
62	61	com3l 89	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
63	53, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
64	9, 63	mpcom 38	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
65	64	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))
66		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
67		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
68		zlem1lt 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
69	68	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
70	69	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝐾 → 𝑁 ≤ 𝐾))
71	70	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾))
72	71	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
73		eluz2 12755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
74	66, 67, 72, 73	syl3anbrc 1344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
75		uzss 12772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
76	65, 74, 75	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
77	52, 76	eqssd 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
78		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		uz11 12774	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
80	78, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
81	77, 80	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 = 𝐾)
82	24, 81	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾))
83	82	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))
84		oveq12 7365	. 2 ⊢ ((𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
85	83, 84	impbid1 225	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ..^cfzo 13568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569

This theorem is referenced by:  fzo0opth  32832  chnsubseqwl  47065  2ffzoeq  47515