Proof of Theorem fzoopth
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 486 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)) |
2 | | fzolb 13039 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)) |
3 | 1, 2 | sylibr 237 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
4 | | simpr 488 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) |
5 | 3, 4 | eleqtrd 2892 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)) |
6 | | elfzouz 13037 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐽)) |
7 | | uzss 12253 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈
(ℤ≥‘𝐽) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆
(ℤ≥‘𝐽)) |
8 | 5, 6, 7 | 3syl 18 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
(ℤ≥‘𝑀) ⊆
(ℤ≥‘𝐽)) |
9 | 2 | biimpri 231 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
10 | 9 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
11 | | eleq2 2878 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))) |
12 | 11 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))) |
13 | 10, 12 | mpbid 235 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)) |
14 | | elfzolt3b 13045 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾)) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾)) |
16 | 15, 4 | eleqtrrd 2893 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
17 | | elfzouz 13037 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
18 | | uzss 12253 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐽 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐽) ⊆
(ℤ≥‘𝑀)) |
19 | 16, 17, 18 | 3syl 18 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
(ℤ≥‘𝐽) ⊆
(ℤ≥‘𝑀)) |
20 | 8, 19 | eqssd 3932 |
. . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
(ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽)) |
21 | | simpl1 1188 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ) |
22 | | uz11 12255 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℤ →
((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽)) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽)) |
24 | 20, 23 | mpbid 235 |
. . . 4
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 = 𝐽) |
25 | | fzoend 13123 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾)) |
26 | | elfzoel2 13032 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ) |
27 | | eleq2 2878 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐽..^𝐾) = (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))) |
28 | 27 | eqcoms 2806 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))) |
29 | | elfzo2 13036 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) |
30 | | simpl 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
31 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
32 | | zlem1lt 12022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁)) |
33 | 32 | ancoms 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁)) |
34 | 33 | biimprd 251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁)) |
35 | 34 | impancom 455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ≤ 𝑁)) |
36 | 35 | impcom 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁) |
37 | 30, 31, 36 | 3jca 1125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) |
38 | 37 | expcom 417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))) |
39 | 38 | 3adant1 1127 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))) |
40 | 39 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐾 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))) |
41 | 29, 40 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))) |
42 | 28, 41 | syl6bi 256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))) |
43 | 42 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))) |
44 | 43 | impcom 411 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))) |
45 | 44 | com13 88 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))) |
46 | 26, 45 | mpcom 38 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))) |
47 | 25, 46 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))) |
48 | 15, 47 | mpcom 38 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) |
49 | | eluz2 12237 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) |
50 | 49 | biimpri 231 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) |
51 | | uzss 12253 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆
(ℤ≥‘𝐾)) |
52 | 48, 50, 51 | 3syl 18 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
(ℤ≥‘𝑁) ⊆
(ℤ≥‘𝐾)) |
53 | | fzoend 13123 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)) |
54 | | eleq2 2878 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾))) |
55 | | elfzo2 13036 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ ((𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) |
56 | | pm3.2 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))) |
57 | 56 | 3ad2ant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))) |
58 | 57 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))) |
59 | 58 | 3adant1 1127 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))) |
60 | 55, 59 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))) |
61 | 54, 60 | syl6bi 256 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))) |
62 | 61 | com3l 89 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))) |
63 | 53, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))) |
64 | 9, 63 | mpcom 38 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))) |
65 | 64 | imp 410 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))) |
66 | | simpl 486 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
67 | | simprl 770 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
68 | | zlem1lt 12022 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾)) |
69 | 68 | ancoms 462 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾)) |
70 | 69 | biimprd 251 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝐾 → 𝑁 ≤ 𝐾)) |
71 | 70 | impancom 455 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾)) |
72 | 71 | impcom 411 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ≤ 𝐾) |
73 | | eluz2 12237 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)) |
74 | 66, 67, 72, 73 | syl3anbrc 1340 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
75 | | uzss 12253 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆
(ℤ≥‘𝑁)) |
76 | 65, 74, 75 | 3syl 18 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
(ℤ≥‘𝐾) ⊆
(ℤ≥‘𝑁)) |
77 | 52, 76 | eqssd 3932 |
. . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
(ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾)) |
78 | | simpl2 1189 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
79 | | uz11 12255 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
((ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾)) |
80 | 78, 79 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) →
((ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾)) |
81 | 77, 80 | mpbid 235 |
. . . 4
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 = 𝐾) |
82 | 24, 81 | jca 515 |
. . 3
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)) |
83 | 82 | ex 416 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾))) |
84 | | oveq12 7144 |
. 2
⊢ ((𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) |
85 | 83, 84 | impbid1 228 |
1
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾))) |