fzoopth - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fzoopth		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fzoopth 13819

Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 13617. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
fzoopth	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

**Proof of Theorem fzoopth**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzolb 13722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
2	1	biranri 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
3		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
4	2, 3	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
5		elfzouz 13720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝐽))
6		uzss 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝐽) → (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐽))
7	4, 5, 6	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐽))
8		eleq2 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
10	2, 9	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
11		elfzolt3b 13728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
13	12, 3	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
14		elfzouz 13720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
15		uzss 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → (ℤ_≥‘𝐽) ⊆ (ℤ_≥‘𝑀))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝐽) ⊆ (ℤ_≥‘𝑀))
17	7, 16	eqssd 3948	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑀) = (ℤ_≥‘𝐽))
18		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		uz11 12913	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ_≥‘𝑀) = (ℤ_≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ_≥‘𝑀) = (ℤ_≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
21	17, 20	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 = 𝐽)
22		fzoend 13814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾))
23		elfzoel2 13714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
24		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽..^𝐾) = (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
25	24	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
26		elfzo2 13718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁))
27		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
28		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		zlem1lt 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
30	29	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
31	30	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
32	31	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ≤ 𝑁))
33	32	impcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
34	27, 28, 33	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
36	35	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
37	36	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
38	26, 37	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
39	25, 38	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
40	39	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
41	40	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
42	41	com13 89	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
43	23, 42	mpcom 39	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
44	22, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
45	12, 44	mpcom 39	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
46		eluz2 12894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
47	46	biimpri 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾))
48		uzss 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝐾) → (ℤ_≥‘𝑁) ⊆ (ℤ_≥‘𝐾))
49	45, 47, 48	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑁) ⊆ (ℤ_≥‘𝐾))
50	1	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
51		fzoend 13814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
52		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾)))
53		elfzo2 13718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))
54		pm3.2 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
55	54	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
56	55	com12 33	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
57	56	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
58	53, 57	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
59	52, 58	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
60	59	com3l 90	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
61	51, 60	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
62	50, 61	mpcom 39	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
63	62	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))
64		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
65		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
66		zlem1lt 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
67	66	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
68	67	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝐾 → 𝑁 ≤ 𝐾))
69	68	impancom 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾))
70	69	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
71		eluz2 12894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
72	64, 65, 70, 71	syl3anbrc 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
73		uzss 12911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (ℤ_≥‘𝐾) ⊆ (ℤ_≥‘𝑁))
74	63, 72, 73	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝐾) ⊆ (ℤ_≥‘𝑁))
75	49, 74	eqssd 3948	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝐾))
76		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
77		uz11 12913	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
78	76, 77	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ_≥‘𝑁) = (ℤ_≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
79	75, 78	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 = 𝐾)
80	21, 79	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾))
81	80	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))
82		oveq12 7423	. 2 ⊢ ((𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
83	81, 82	impbid1 228	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ⊆ wss 3899 class class class wbr 5103 ‘cfv 6533 (class class class)co 7414 1c1 11126 < clt 11268 ≤ cle 11269 − cmin 11466 ℤcz 12616 ℤ_≥cuz 12888 ..^cfzo 13710

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7737 ax-cnex 11181 ax-resscn 11182 ax-1cn 11183 ax-icn 11184 ax-addcl 11185 ax-addrcl 11186 ax-mulcl 11187 ax-mulrcl 11188 ax-mulcom 11189 ax-addass 11190 ax-mulass 11191 ax-distr 11192 ax-i2m1 11193 ax-1ne0 11194 ax-1rid 11195 ax-rnegex 11196 ax-rrecex 11197 ax-cnre 11198 ax-pre-lttri 11199 ax-pre-lttrn 11200 ax-pre-ltadd 11201 ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7371 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8361 df-rdg 8400 df-er 8697 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-pnf 11270 df-mnf 11271 df-xr 11272 df-ltxr 11273 df-le 11274 df-sub 11468 df-neg 11469 df-nn 12259 df-n0 12530 df-z 12617 df-uz 12889 df-fz 13563 df-fzo 13711

This theorem is used by: fzo0opth 33275 chnsubseqwl 47708 2ffzoeq 48217

W3C validator