Theorem fzoopth 46545

Description: A half-open integer range can represent an ordered pair, analogous to fzopth 13536. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzoopth	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

Proof of Theorem fzoopth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
2		fzolb 13636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
3	1, 2	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
5	3, 4	eleqtrd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
6		elfzouz 13634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐽))
7		uzss 12843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐽) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝐽))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝐽))
9	2	biimpri 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁))
11		eleq2 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾)))
13	10, 12	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾))
14		elfzolt3b 13642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾))
16	15, 4	eleqtrrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
17		elfzouz 13634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		uzss 12843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝐽) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝐽) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
20	8, 19	eqssd 3992	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽))
21		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22		uz11 12845	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝐽) ↔ 𝑀 = 𝐽))
24	20, 23	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑀 = 𝐽)
25		fzoend 13721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾))
26		elfzoel2 13629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
27		eleq2 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽..^𝐾) = (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
28	27	eqcoms 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁)))
29		elfzo2 13633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁))
30		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		zlem1lt 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
33	32	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑁))
34	33	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ≤ 𝑁))
36	35	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
37	30, 31, 36	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
38	37	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
39	38	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
40	39	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
41	29, 40	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
42	28, 41	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
43	42	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
44	43	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
45	44	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
46	26, 45	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
47	25, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐽..^𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
48	15, 47	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
49		eluz2 12826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
50	49	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
51		uzss 12843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝐾))
52	48, 50, 51	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝐾))
53		fzoend 13721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
54		eleq2 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾)))
55		elfzo2 13633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))
56		pm3.2 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
57	56	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
59	58	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐽) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
60	55, 59	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝐽..^𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
61	54, 60	syl6bi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
62	61	com3l 89	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
63	53, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))))
64	9, 63	mpcom 38	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾))))
65	64	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)))
66		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
67		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
68		zlem1lt 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
69	68	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 1) < 𝐾))
70	69	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝐾 → 𝑁 ≤ 𝐾))
71	70	impancom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝐾))
72	71	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
73		eluz2 12826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾))
74	66, 67, 72, 73	syl3anbrc 1340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) < 𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
75		uzss 12843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
76	65, 74, 75	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝐾) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
77	52, 76	eqssd 3992	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
78		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		uz11 12845	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
80	78, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → ((ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝑁 = 𝐾))
81	77, 80	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → 𝑁 = 𝐾)
82	24, 81	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾)) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾))
83	82	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) → (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))
84		oveq12 7411	. 2 ⊢ ((𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾) → (𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾))
85	83, 84	impbid1 224	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑀..^𝑁) = (𝐽..^𝐾) ↔ (𝑀 = 𝐽 ∧ 𝑁 = 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108   < clt 11246   ≤ cle 11247   − cmin 11442  ℤcz 12556  ℤ_≥cuz 12820  ..^cfzo 13625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626

This theorem is referenced by:  2ffzoeq  46546