Theorem lswccatn0lsw 14296

Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lswccatn0lsw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 14278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2	1	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
3	2	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
4		lencl 14236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		lennncl 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
7		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
8		nnz 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
9		zaddcl 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		nnrp 12741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ+)
13		ltaddrp 12767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ+) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	7, 10, 14	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
16	5, 6, 15	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17	16	3impb 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18		fzolb 13393	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20		fzoend 13478	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
22	3, 21	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
23		ccatval2 14283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
24	22, 23	syld3an3 1408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
25	2	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)))
26	4	nn0cnd 12295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27		lencl 14236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
29		addcl 10953	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
30		1cnd 10970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sub32d 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1))
33		pncan2 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐵))
34	33	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1) = ((♯‘𝐵) − 1))
35	32, 34	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
36	26, 28, 35	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
37	25, 36	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
38	37	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
39	38	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
40	24, 39	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
41		ovex 7308	. . 3 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
42		lsw 14267	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
43	41, 42	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
44		lsw 14267	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
45	44	3ad2ant2 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  lastSclsw 14265   ++ cconcat 14273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274

This theorem is referenced by:  lswccats1  14344  clwwlkccat  28354