Theorem lswccatn0lsw 14549

Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lswccatn0lsw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 14532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2	1	oveq1d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
3	2	3adant3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
4		lencl 14490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		lennncl 14491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
7		simpl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
8		nnz 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
9		zaddcl 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
10	8, 9	sylan2 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		nnrp 12949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ+)
13		ltaddrp 12976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ+) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2an 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	7, 10, 14	3jca 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
16	5, 6, 15	syl2an 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17	16	3impb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18		fzolb 13615	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
19	17, 18	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20		fzoend 13707	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
22	3, 21	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
23		ccatval2 14535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
24	22, 23	syld3an3 1418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
25	2	oveq1d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)))
26	4	nn0cnd 12495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27		lencl 14490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
29		addcl 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
30		1cnd 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sub32d 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1))
33		pncan2 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐵))
34	33	oveq1d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1) = ((♯‘𝐵) − 1))
35	32, 34	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
36	26, 28, 35	syl2an 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
37	25, 36	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
38	37	3adant3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
39	38	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
40	24, 39	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
41		ovex 7392	. . 3 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
42		lsw 14521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
43	41, 42	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
44		lsw 14521	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
45	44	3ad2ant2 1141	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033  1c1 11035   + caddc 11037   < clt 11175   − cmin 11373  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ℝ⁺crp 12937  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287  Word cword 14470  lastSclsw 14519   ++ cconcat 14527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-lsw 14520  df-concat 14528

This theorem is referenced by:  lswccats1  14592  clwwlkccat  30080