MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lswccatn0lsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswccatn0lsw 13945
Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
lswccatn0lsw ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw
StepHypRef Expression
1 ccatlen 13927 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
21oveq1d 7164 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
323adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
4 lencl 13885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
54nn0zd 12082 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6 lennncl 13886 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
7 simpl 486 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
8 nnz 12001 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
9 zaddcl 12019 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
108, 9sylan2 595 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
11 zre 11982 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12 nnrp 12397 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ+)
13 ltaddrp 12423 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ+) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
1411, 12, 13syl2an 598 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
157, 10, 143jca 1125 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
165, 6, 15syl2an 598 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17163impb 1112 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18 fzolb 13048 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
1917, 18sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20 fzoend 13132 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
223, 21eqeltrd 2916 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
23 ccatval2 13932 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
2422, 23syld3an3 1406 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
252oveq1d 7164 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)))
264nn0cnd 11954 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27 lencl 13885 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11954 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
29 addcl 10617 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
30 1cnd 10634 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31 simpl 486 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
3229, 30, 31sub32d 11027 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1))
33 pncan2 10891 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐵))
3433oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1) = ((♯‘𝐵) − 1))
3532, 34eqtrd 2859 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
3626, 28, 35syl2an 598 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
3725, 36eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
38373adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
3938fveq2d 6665 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
4024, 39eqtrd 2859 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
41 ovex 7182 . . 3 (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
42 lsw 13916 . . 3 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
4341, 42mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
44 lsw 13916 . . 3 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
45443ad2ant2 1131 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
4640, 43, 453eqtr4d 2869 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  c0 4276   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  cmin 10868  cn 11634  cz 11978  +crp 12386  ..^cfzo 13037  chash 13695  Word cword 13866  lastSclsw 13914   ++ cconcat 13922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-lsw 13915  df-concat 13923
This theorem is referenced by:  lswccats1  13993  clwwlkccat  27778
  Copyright terms: Public domain W3C validator