Theorem lswccatn0lsw 14639

Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lswccatn0lsw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 14623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2	1	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
3	2	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
4		lencl 14581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		lennncl 14582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
7		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
8		nnz 12660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
9		zaddcl 12683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
10	8, 9	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		nnrp 13068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ+)
13		ltaddrp 13094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ+) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	7, 10, 14	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
16	5, 6, 15	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17	16	3impb 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18		fzolb 13722	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20		fzoend 13807	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
22	3, 21	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
23		ccatval2 14626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
24	22, 23	syld3an3 1409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
25	2	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)))
26	4	nn0cnd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27		lencl 14581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
29		addcl 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
30		1cnd 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sub32d 11679	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1))
33		pncan2 11543	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐵))
34	33	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1) = ((♯‘𝐵) − 1))
35	32, 34	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
36	26, 28, 35	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
37	25, 36	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
38	37	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
39	38	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
40	24, 39	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
41		ovex 7481	. . 3 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
42		lsw 14612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
43	41, 42	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
44		lsw 14612	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
45	44	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  lastSclsw 14610   ++ cconcat 14618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619

This theorem is referenced by:  lswccats1  14682  clwwlkccat  30022