Theorem lswccatn0lsw 14479

Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lswccatn0lsw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Proof of Theorem lswccatn0lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 14463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2	1	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
3	2	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
4		lencl 14421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
6		lennncl 14422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
7		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
8		nnz 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
9		zaddcl 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		nnrp 12926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ+)
13		ltaddrp 12952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ+) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	7, 10, 14	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
16	5, 6, 15	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17	16	3impb 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18		fzolb 13578	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20		fzoend 13663	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
22	3, 21	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
23		ccatval2 14466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
24	22, 23	syld3an3 1409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))))
25	2	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)))
26	4	nn0cnd 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
27		lencl 14421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
29		addcl 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
30		1cnd 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
31		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
32	29, 30, 31	sub32d 11544	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1))
33		pncan2 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐵))
34	33	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − (♯‘𝐴)) − 1) = ((♯‘𝐵) − 1))
35	32, 34	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
36	26, 28, 35	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
37	25, 36	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
38	37	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐵) − 1))
39	38	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘(((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
40	24, 39	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
41		ovex 7390	. . 3 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) ∈ V
42		lsw 14452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ V → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
43	41, 42	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)))
44		lsw 14452	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
45	44	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘𝐵) = (𝐵‘((♯‘𝐵) − 1)))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (lastS‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (lastS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445  ∅c0 4282   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ℝ⁺crp 12915  ..^cfzo 13567  ♯chash 14230  Word cword 14402  lastSclsw 14450   ++ cconcat 14458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459

This theorem is referenced by:  lswccats1  14522  clwwlkccat  28934