MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0end Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0end 13121
Description: The endpoint of a zero-based half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0end (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))

Proof of Theorem fzo0end
StepHypRef Expression
1 lbfzo0 13069 . 2 (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
2 fzoend 13120 . 2 (0 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))
31, 2sylbir 237 1 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530  cmin 10862  cn 11630  ..^cfzo 13025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026
This theorem is referenced by:  lswcl  13912  ccatval1lsw  13930  swrdlsw  14021  pfxfvlsw  14049  pfxsuff1eqwrdeq  14053  wrdind  14076  wrd2ind  14077  repswlsw  14136  cshwidxn  14163  lswco  14193  swrd2lsw  14306  efgsf  18847  efgsrel  18852  efgsp1  18855  efgredlemf  18859  efgredlemd  18862  efgredlemc  18863  efgredlem  18865  taylthlem1  24953  wlkdlem2  27457  pthdlem2lem  27540  clwwlkel  27817  clwwlkf  27818  clwwlkwwlksb  27825  eucrct2eupth1  28015  2clwwlk2clwwlklem  28117  cycpmco2lem5  30765  fiblem  31649  signstfvn  31832  signsvtn0  31833  signstfvneq0  31835  signstfveq0  31840  signsvfn  31845  signsvtp  31846  signsvtn  31847  signsvfpn  31848  signsvfnn  31849  signlem0  31850
  Copyright terms: Public domain W3C validator