Theorem fzo0end 13806

Description: The endpoint of a zero-based half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0end	⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))

Proof of Theorem fzo0end

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbfzo0 13747	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
2		fzoend 13805	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))
3	1, 2	sylbir 238	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   − cmin 11459  ℕcn 12251  ..^cfzo 13701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702

This theorem is used by:  lswcl  14625  ccatval1lsw  14642  swrdlsw  14729  pfxfvlsw  14756  pfxsuff1eqwrdeq  14760  wrdind  14783  wrd2ind  14784  repswlsw  14845  cshwidxn  14872  lswco  14902  swrd2lsw  15015  chnind  18702  chnub  18703  chnccats1  18706  chnccat  18707  efgsf  19830  efgsrel  19835  efgsp1  19838  efgredlemf  19842  efgredlemd  19845  efgredlemc  19846  efgredlem  19848  taylthlem1  26573  wlkdlem2  30068  pthdlem2lem  30153  clwwlkel  30434  clwwlkf  30435  clwwlkwwlksb  30442  eucrct2eupth1  30632  2clwwlk2clwwlklem  30734  fzo0pmtrlast  33443  wrdpmtrlast  33444  cycpmco2lem5  33481  fiblem  34820  signstfvn  34988  signsvtn0  34989  signstfvneq0  34991  signstfveq0  34996  signsvfn  35001  signsvtp  35002  signsvtn  35003  signsvfpn  35004  signsvfnn  35005  signlem0  35006  gpgedgvtx0  48867