Theorem fzo0end 13897

Description: The endpoint of a zero-based half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0end	⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))

Proof of Theorem fzo0end

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbfzo0 13838	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
2		fzoend 13896	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))
3	1, 2	sylbir 238	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ (0..^𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   − cmin 11545  ℕcn 12339  ..^cfzo 13792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793

This theorem is used by:  lswcl  14717  ccatval1lsw  14734  swrdlsw  14822  pfxfvlsw  14849  pfxsuff1eqwrdeq  14853  wrdind  14876  wrd2ind  14877  repswlsw  14938  cshwidxn  14965  lswco  14995  swrd2lsw  15111  chnind  18801  chnub  18802  chnccats1  18805  chnccat  18806  efgsf  19949  efgsrel  19954  efgsp1  19957  efgredlemf  19961  efgredlemd  19964  efgredlemc  19965  efgredlem  19967  taylthlem1  26706  wlkdlem2  30268  pthdlem2lem  30359  clwwlkel  30643  clwwlkf  30644  clwwlkwwlksb  30651  eucrct2eupth1  30851  2clwwlk2clwwlklem  30953  fzo0pmtrlast  33700  wrdpmtrlast  33701  cycpmco2lem5  33738  fiblem  35077  signstfvn  35245  signsvtn0  35246  signstfvneq0  35248  signstfveq0  35253  signsvfn  35258  signsvtp  35259  signsvtn  35260  signsvfpn  35261  signsvfnn  35262  signlem0  35263  gpgedgvtx0  49253