MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1b 18413
Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1b (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 3895 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
2 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2862 . . 3 ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
4 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
5 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
94, 5, 6, 7, 2, 8efgsdm 18407 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
109simp1bi 1175 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11 eldifsn 4472 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
12 lennncl 13506 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1311, 12sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 elnn1uz2 11966 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1614, 15sylib 209 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1716ord 890 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1810eldifad 3744 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ Word 𝑊)
1918adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20 wrdf 13491 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22 1z 11654 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
24 df-2 11335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2623, 25syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 eluzp1m1 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2822, 26, 27sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
29 nnuz 11923 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3028, 29syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31 lbfzo0 12716 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
3230, 31sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33 fzoend 12767 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34 elfzofz 12693 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3736adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38 fzoval 12679 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4035, 39eleqtrrd 2847 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
4121, 40ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42 uz2m1nn 11964 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
434, 5, 6, 7, 2, 8efgsdmi 18409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4442, 43sylan2 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4645rneqd 5521 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4746eliuni 4682 . . . . . . . 8 (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
4841, 44, 47syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
49 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑇𝑎) = (𝑇𝑥))
5049rneqd 5521 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇𝑥))
5150cbviunv 4715 . . . . . . 7 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) = 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)
5248, 51syl6eleq 2854 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5352ex 401 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5417, 53syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5554con1d 141 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
563, 55syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
579simp2bi 1176 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58 oveq1 6849 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59 1m1e0 11344 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
6058, 59syl6eq 2815 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
6160fveq2d 6379 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
6261eleq1d 2829 . . . 4 ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
6357, 62syl5ibrcom 238 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
644, 5, 6, 7, 2, 8efgsval 18408 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
6564eleq1d 2829 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
6663, 65sylibrd 250 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝐷))
6756, 66impbid 203 1 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  cdif 3729  c0 4079  {csn 4334  cop 4340  cotp 4342   ciun 4676  cmpt 4888   I cid 5184   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  1𝑜c1o 7757  2𝑜c2o 7758  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13486   splice csplice 13763  ⟨“cs2 13870   ~FG cefg 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487
This theorem is referenced by:  efgredlema  18418  efgredeu  18431
  Copyright terms: Public domain W3C validator