Theorem efgs1b 19778

Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1b	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4155	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
2		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2862	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
4		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
7		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdm 19772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
10	9	simp1bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11		eldifsn 4811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		lennncl 14582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		elnn1uz2 12990	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
16	14, 15	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
17	16	ord 863	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	10	eldifad 3988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20		wrdf 14567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22		1z 12673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
24		df-2 12356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
27		eluzp1m1 12929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
28	22, 26, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
29		nnuz 12946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
30	28, 29	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31		lbfzo0 13756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33		fzoend 13807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34		elfzofz 13732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36		eluzelz 12913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38		fzoval 13717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
40	35, 39	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
41	21, 40	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42		uz2m1nn 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
43	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdmi 19774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
44	42, 43	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
46	45	rneqd 5963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
47	46	eliuni 5021	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
48	41, 44, 47	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
49		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘𝑥))
50	49	rneqd 5963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘𝑥))
51	50	cbviunv 5063	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)
52	48, 51	eleqtrdi 2854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
53	52	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
54	17, 53	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
55	54	con1d 145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
56	3, 55	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
57	9	simp2bi 1146	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59		1m1e0 12365	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
60	58, 59	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
61	60	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
62	61	eleq1d 2829	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
63	57, 62	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
64	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsval 19773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
65	64	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
66	63, 65	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷))
67	56, 66	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  {crab 3443   ∖ cdif 3973  ∅c0 4352  {csn 4648  ⟨cop 4654  ⟨cotp 4656  ∪ ciun 5015   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   splice csplice 14797  ⟨“cs2 14890   ~_FG cefg 19748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563

This theorem is referenced by:  efgredlema  19782  efgredeu  19794