Theorem efgs1b 19801

Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1b	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4086	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
2		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2881	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
4		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
7		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdm 19795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
10	9	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11		eldifsn 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		lennncl 14567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
14	10, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		elnn1uz2 12944	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
16	14, 15	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
17	16	ord 877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	10	eldifad 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20		wrdf 14551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22		1z 12619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
24		df-2 12298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
27		eluzp1m1 12883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
28	22, 26, 27	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
29		nnuz 12896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
30	28, 29	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31		lbfzo0 13724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33		fzoend 13782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34		elfzofz 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38		fzoval 13684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
40	35, 39	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
41	21, 40	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42		uz2m1nn 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
43	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdmi 19797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
44	42, 43	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
46	45	rneqd 5928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
47	46	eliuni 4962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
48	41, 44, 47	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
49		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘𝑥))
50	49	rneqd 5928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘𝑥))
51	50	cbviunv 5003	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)
52	48, 51	eleqtrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
53	52	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
54	17, 53	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
55	54	con1d 146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
56	3, 55	syl5 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
57	9	simp2bi 1164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59		1m1e0 12308	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
60	58, 59	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
61	60	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
62	61	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
63	57, 62	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
64	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsval 19796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
65	64	eleq1d 2848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
66	63, 65	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷))
67	56, 66	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597  ∪ ciun 4956   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   × cxp 5659  dom cdm 5661  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436  ℕcn 12228  2c2 12290  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546   splice csplice 14782  ⟨“cs2 14874   ~_FG cefg 19771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547

This theorem is referenced by:  efgredlema  19805  efgredeu  19817