Theorem efgs1b 19665

Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1b	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4084	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
2		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2854	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
4		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
7		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdm 19659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
10	9	simp1bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11		eldifsn 4742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		lennncl 14457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		elnn1uz2 12838	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
16	14, 15	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
17	16	ord 864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	10	eldifad 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20		wrdf 14441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22		1z 12521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
24		df-2 12208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
27		eluzp1m1 12777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
28	22, 26, 27	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
29		nnuz 12790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
30	28, 29	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31		lbfzo0 13615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33		fzoend 13673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34		elfzofz 13591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36		eluzelz 12761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38		fzoval 13576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
40	35, 39	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
41	21, 40	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42		uz2m1nn 12836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
43	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdmi 19661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
44	42, 43	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
46	45	rneqd 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
47	46	eliuni 4952	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
48	41, 44, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
49		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘𝑥))
50	49	rneqd 5887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘𝑥))
51	50	cbviunv 4994	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)
52	48, 51	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
53	52	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
54	17, 53	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
55	54	con1d 145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
56	3, 55	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
57	9	simp2bi 1146	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59		1m1e0 12217	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
60	58, 59	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
61	60	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
62	61	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
63	57, 62	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
64	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsval 19660	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
65	64	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
66	63, 65	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷))
67	56, 66	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3399   ∖ cdif 3898  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586  ⟨cotp 4588  ∪ ciun 4946   ↦ cmpt 5179   I cid 5518   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1_oc1o 8390  2_oc2o 8391  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436   splice csplice 14672  ⟨“cs2 14764   ~_FG cefg 19635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437

This theorem is referenced by:  efgredlema  19669  efgredeu  19681