Theorem efgs1b 19806

Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1b	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4094	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
2		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2887	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
4		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
7		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdm 19800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
10	9	simp1bi 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11		eldifsn 4758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		lennncl 14571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
14	10, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		elnn1uz2 12949	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
16	14, 15	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
17	16	ord 877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	10	eldifad 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20		wrdf 14555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22		1z 12624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
24		df-2 12303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
27		eluzp1m1 12888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
28	22, 26, 27	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
29		nnuz 12901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
30	28, 29	eleqtrrdi 2880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31		lbfzo0 13728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33		fzoend 13786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34		elfzofz 13704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36		eluzelz 12872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38		fzoval 13688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
40	35, 39	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
41	21, 40	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42		uz2m1nn 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
43	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdmi 19802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
44	42, 43	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
46	45	rneqd 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
47	46	eliuni 4966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
48	41, 44, 47	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
49		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘𝑥))
50	49	rneqd 5929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘𝑥))
51	50	cbviunv 5007	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)
52	48, 51	eleqtrdi 2879	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
53	52	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
54	17, 53	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
55	54	con1d 146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
56	3, 55	syl5 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
57	9	simp2bi 1162	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59		1m1e0 12313	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
60	58, 59	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
61	60	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
62	61	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
63	57, 62	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
64	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsval 19801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
65	64	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
66	63, 65	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷))
67	56, 66	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  {csn 4594  ⟨cop 4600  ⟨cotp 4602  ∪ ciun 4960   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   × cxp 5660  dom cdm 5662  ran crn 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441  ℕcn 12233  2c2 12295  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550   splice csplice 14786  ⟨“cs2 14878   ~_FG cefg 19776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551

This theorem is referenced by:  efgredlema  19810  efgredeu  19822