MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1b 19734
Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1b (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 4127 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
2 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2844 . . 3 ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
4 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
94, 5, 6, 7, 2, 8efgsdm 19728 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
109simp1bi 1142 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11 eldifsn 4795 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
12 lennncl 14542 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1311, 12sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 elnn1uz2 12961 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1716ord 862 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1810eldifad 3959 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ Word 𝑊)
1918adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20 wrdf 14527 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22 1z 12644 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
23 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
24 df-2 12327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2623, 25eleqtrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 eluzp1m1 12900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2822, 26, 27sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
29 nnuz 12917 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3028, 29eleqtrrdi 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31 lbfzo0 13726 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
3230, 31sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33 fzoend 13777 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34 elfzofz 13702 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36 eluzelz 12884 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38 fzoval 13687 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4035, 39eleqtrrd 2829 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
4121, 40ffvelcdmd 7099 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42 uz2m1nn 12959 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
434, 5, 6, 7, 2, 8efgsdmi 19730 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4442, 43sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45 fveq2 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4645rneqd 5944 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4746eliuni 5007 . . . . . . . 8 (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
4841, 44, 47syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
49 fveq2 6901 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑇𝑎) = (𝑇𝑥))
5049rneqd 5944 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇𝑥))
5150cbviunv 5048 . . . . . . 7 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) = 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)
5248, 51eleqtrdi 2836 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5352ex 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5417, 53syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5554con1d 145 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
563, 55syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
579simp2bi 1143 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58 oveq1 7431 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59 1m1e0 12336 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
6058, 59eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
6160fveq2d 6905 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
6261eleq1d 2811 . . . 4 ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
6357, 62syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
644, 5, 6, 7, 2, 8efgsval 19729 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
6564eleq1d 2811 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
6663, 65sylibrd 258 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝐷))
6756, 66impbid 211 1 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  {crab 3419  cdif 3944  c0 4325  {csn 4633  cop 4639  cotp 4641   ciun 5001  cmpt 5236   I cid 5579   × cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  1oc1o 8489  2oc2o 8490  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  cmin 11494  cn 12264  2c2 12319  cz 12610  cuz 12874  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522   splice csplice 14757  ⟨“cs2 14850   ~FG cefg 19704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523
This theorem is referenced by:  efgredlema  19738  efgredeu  19750
  Copyright terms: Public domain W3C validator