MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1b 18791
Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1b (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 4101 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
2 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2928 . . 3 ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
4 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
94, 5, 6, 7, 2, 8efgsdm 18785 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
109simp1bi 1137 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11 eldifsn 4711 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
12 lennncl 13872 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1311, 12sylbi 218 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 elnn1uz2 12313 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1614, 15sylib 219 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1716ord 858 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1810eldifad 3945 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ Word 𝑊)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20 wrdf 13854 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22 1z 12000 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
24 df-2 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2623, 25eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 eluzp1m1 12256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2822, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
29 nnuz 12269 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3028, 29eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31 lbfzo0 13065 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
3230, 31sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33 fzoend 13116 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34 elfzofz 13041 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36 eluzelz 12241 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38 fzoval 13027 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4035, 39eleqtrrd 2913 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
4121, 40ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42 uz2m1nn 12311 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
434, 5, 6, 7, 2, 8efgsdmi 18787 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4442, 43sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4645rneqd 5801 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4746eliuni 4916 . . . . . . . 8 (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
4841, 44, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
49 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑇𝑎) = (𝑇𝑥))
5049rneqd 5801 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇𝑥))
5150cbviunv 4956 . . . . . . 7 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) = 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)
5248, 51eleqtrdi 2920 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5352ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5417, 53syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5554con1d 147 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
563, 55syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
579simp2bi 1138 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58 oveq1 7152 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59 1m1e0 11697 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
6058, 59syl6eq 2869 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
6160fveq2d 6667 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
6261eleq1d 2894 . . . 4 ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
6357, 62syl5ibrcom 248 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
644, 5, 6, 7, 2, 8efgsval 18786 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
6564eleq1d 2894 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
6663, 65sylibrd 260 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝐷))
6756, 66impbid 213 1 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  cdif 3930  c0 4288  {csn 4557  cop 4563  cotp 4565   ciun 4910  cmpt 5137   I cid 5452   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  1oc1o 8084  2oc2o 8085  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849   splice csplice 14099  ⟨“cs2 14191   ~FG cefg 18761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850
This theorem is referenced by:  efgredlema  18795  efgredeu  18807
  Copyright terms: Public domain W3C validator