MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzo12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzo12 13798
Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzo12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12
StepHypRef Expression
1 fzolb2 13706 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ 𝐾 < 𝐿))
21biimp3ar 1472 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿))
3 fzoend 13796 . . 3 (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿))
4 ssel2 3978 . . . . . . 7 (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
5 ssel2 3978 . . . . . . . . . 10 (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → (𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁))
6 elfzolt2 13708 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 − 1) ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿 − 1) < 𝑁)
7 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
8 elfzoel2 13698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
107, 8, 9syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
11 elfzole1 13707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝐾)
12 pm3.2 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐾 → (𝐿𝑁 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐿𝑁 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐿𝑁 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1510, 14sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
1615ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
1716com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 − 1) < 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
185, 6, 173syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
1918ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2019com24 95 . . . . . . 7 ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
214, 20syl5com 31 . . . . . 6 (((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿)) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2221ex 412 . . . . 5 ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))))
2322pm2.43a 54 . . . 4 ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
2423com14 96 . . 3 ((𝐿 − 1) ∈ (𝐾..^𝐿) → (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))))
253, 24mpcom 38 . 2 (𝐾 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁))))
262, 25mpcom 38 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  ssfzoulel  13799  ssfzo12bi  13800
  Copyright terms: Public domain W3C validator