Theorem gbepos 48004

Description: Any even Goldbach number is positive. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbepos	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gbepos

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 47997	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2		prmnn 16601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3		prmnn 16601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
4		nnaddcl 12168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
6		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ))
7	5, 6	imbitrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
8	7	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
9	8	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ)))
11	10	rexlimdvv 3192	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
12	11	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑍 ∈ ℕ)
13	1, 12	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  (class class class)co 7358   + caddc 11029  ℕcn 12145  ℙcprime 16598   Even ceven 47870   Odd codd 47871   GoldbachEven cgbe 47991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086  ax-addass 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-prm 16599  df-gbe 47994

This theorem is referenced by:  gbege6  48011