Theorem gbepos 48377

Description: Any even Goldbach number is positive. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbepos	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gbepos

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 48370	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2		prmnn 16708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3		prmnn 16708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
4		nnaddcl 12233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
6		eleq1 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ))
7	5, 6	imbitrrid 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
8	7	3ad2ant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
9	8	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ)))
11	10	rexlimdvv 3218	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
12	11	imp 410	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑍 ∈ ℕ)
13	1, 12	sylbi 219	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  (class class class)co 7396   + caddc 11076  ℕcn 12210  ℙcprime 16705   Even ceven 48243   Odd codd 48244   GoldbachEven cgbe 48364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-1cn 11131  ax-addcl 11133  ax-addass 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-nn 12211  df-prm 16706  df-gbe 48367

This theorem is referenced by:  gbege6  48384