Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gbepos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gbepos 44142
Description: Any even Goldbach number is positive. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbepos (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gbepos
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 44135 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2 prmnn 16014 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3 prmnn 16014 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
4 nnaddcl 11655 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
52, 3, 4syl2an 598 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
6 eleq1 2903 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ))
75, 6syl5ibr 249 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
873ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
98com12 32 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
109a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ)))
1110rexlimdvv 3286 . . 3 (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
1211imp 410 . 2 ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑍 ∈ ℕ)
131, 12sylbi 220 1 (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  (class class class)co 7146   + caddc 10534  cn 11632  cprime 16011   Even ceven 44008   Odd codd 44009   GoldbachEven cgbe 44129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591  ax-addass 10596
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-om 7572  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-nn 11633  df-prm 16012  df-gbe 44132
This theorem is referenced by:  gbege6  44149
  Copyright terms: Public domain W3C validator