Theorem gbepos 47098

Description: Any even Goldbach number is positive. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbepos	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gbepos

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 47091	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2		prmnn 16645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3		prmnn 16645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
4		nnaddcl 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
6		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ))
7	5, 6	imbitrrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
8	7	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
9	8	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ)))
11	10	rexlimdvv 3207	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
12	11	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑍 ∈ ℕ)
13	1, 12	sylbi 216	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  (class class class)co 7420   + caddc 11142  ℕcn 12243  ℙcprime 16642   Even ceven 46964   Odd codd 46965   GoldbachEven cgbe 47085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-1cn 11197  ax-addcl 11199  ax-addass 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12244  df-prm 16643  df-gbe 47088

This theorem is referenced by:  gbege6  47105