Theorem gbepos 45098

Description: Any even Goldbach number is positive. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbepos	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gbepos

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbe 45091	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2		prmnn 16307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3		prmnn 16307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
4		nnaddcl 11926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
6		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑍 ∈ ℕ ↔ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ))
7	5, 6	syl5ibr 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
8	7	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑍 ∈ ℕ))
9	8	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ)))
11	10	rexlimdvv 3221	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑍 ∈ ℕ))
12	11	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑍 ∈ ℕ)
13	1, 12	sylbi 216	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  (class class class)co 7255   + caddc 10805  ℕcn 11903  ℙcprime 16304   Even ceven 44964   Odd codd 44965   GoldbachEven cgbe 45085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862  ax-addass 10867

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-prm 16305  df-gbe 45088

This theorem is referenced by:  gbege6  45105