Theorem gbowpos 47746

Description: Any weak odd Goldbach number is positive. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowpos	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gbowpos

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbow 47739	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2		prmnn 16711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3		prmnn 16711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
4	2, 3	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
6		nnaddcl 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
8		prmnn 16711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑟 ∈ ℕ)
10	7, 9	nnaddcld 12318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℕ)
11		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑍 ∈ ℕ ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℕ))
12	10, 11	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ))
13	12	rexlimdva 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ)))
15	14	rexlimdvv 3212	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ))
16	15	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑍 ∈ ℕ)
17	1, 16	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  (class class class)co 7431   + caddc 11158  ℕcn 12266  ℙcprime 16708   Odd codd 47612   GoldbachOddW cgbow 47733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215  ax-addass 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-prm 16709  df-gbow 47736

This theorem is referenced by:  gbopos  47747  gbowge7  47750