Theorem gbowpos 43923

Description: Any weak odd Goldbach number is positive. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowpos	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gbowpos

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbow 43916	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2		prmnn 16017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3		prmnn 16017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
4	2, 3	anim12i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
5	4	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
6		nnaddcl 11659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℕ)
8		prmnn 16017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
9	8	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 𝑟 ∈ ℕ)
10	7, 9	nnaddcld 11688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℕ)
11		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑍 ∈ ℕ ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℕ))
12	10, 11	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ))
13	12	rexlimdva 3284	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ)))
15	14	rexlimdvv 3293	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 𝑍 ∈ ℕ))
16	15	imp 409	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑍 ∈ ℕ)
17	1, 16	sylbi 219	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  (class class class)co 7155   + caddc 10539  ℕcn 11637  ℙcprime 16014   Odd codd 43789   GoldbachOddW cgbow 43910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-1cn 10594  ax-addcl 10596  ax-addass 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-nn 11638  df-prm 16015  df-gbow 43913

This theorem is referenced by:  gbopos  43924  gbowge7  43927