Theorem gbege6 48256

Description: Any even Goldbach number is greater than or equal to 6. Because of 6gbe 48262, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbege6	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 6 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbege6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gbepos 48249	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 𝑍 ∈ ℕ)
2		gbegt5 48252	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)
3		5nn 12261	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12545	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℤ
5		nnz 12539	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12571	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
7	4, 5, 6	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
8	7	biimpd 229	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
9		5p1e6 12317	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
10	9	breq1i 5093	. . 3 ⊢ ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
11	8, 10	imbitrdi 251	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → 6 ≤ 𝑍))
12	1, 2, 11	sylc 65	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachEven → 6 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  1c1 11033   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℕcn 12168  5c5 12233  6c6 12234  ℤcz 12518   GoldbachEven cgbe 48236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-prm 16635  df-even 48117  df-odd 48118  df-gbe 48239

This theorem is referenced by: (None)