MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaddcl 12134
Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnaddcl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7359 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 1))
21eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
32imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)))
4 oveq2 7359 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
54eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ)))
7 oveq2 7359 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
87eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
98imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10 oveq2 7359 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝐵))
1110eleq1d 2822 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)))
13 peano2nn 12123 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
14 peano2nn 12123 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → ((𝐴 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ)
15 nncn 12119 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
16 nncn 12119 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 11067 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18 addass 11096 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
1917, 18mp3an3 1450 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
2015, 16, 19syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
2120eleq1d 2822 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
2214, 21imbitrid 243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
2322expcom 414 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
2423a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
253, 6, 9, 12, 13, 24nnind 12129 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ))
2625impcom 408 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  cc 11007  1c1 11010   + caddc 11012  cn 12111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069  ax-addass 11074
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-nn 12112
This theorem is referenced by:  nnmulcl  12135  nnaddcld  12163  nnnn0addcl  12401  nn0addcl  12406  zaddcl  12501  9p1e10  12578  pythagtriplem4  16651  vdwapun  16806  vdwap1  16809  vdwlem2  16814  prmgaplem7  16889  prmgapprmolem  16893  mulgnndir  18864  uniioombllem3  24901  ballotlem1  32898  ballotlem2  32900  ballotlemfmpn  32906  ballotlem4  32910  ballotlemimin  32917  ballotlemsdom  32923  ballotlemsel1i  32924  ballotlemfrceq  32940  ballotlemfrcn0  32941  ballotlem1ri  32946  ballotth  32949  nndivsub  34867  nnadddir  40695  gbepos  45851  gbowpos  45852  nnsgrpmgm  46011
  Copyright terms: Public domain W3C validator