Theorem nnaddcl 12209

Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 1))
2	1	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)))
4		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
5	4	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ)))
7		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝐵))
11	10	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)))
13		peano2nn 12198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
14		peano2nn 12198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → ((𝐴 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ)
15		nncn 12194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
16		nncn 12194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		addass 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
19	17, 18	mp3an3 1452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
20	15, 16, 19	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
21	20	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
22	14, 21	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
23	22	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
24	23	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 12204	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ))
26	25	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128  ax-addass 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  nnmulcl  12210  nnaddcld  12238  nnnn0addcl  12472  nn0addcl  12477  zaddcl  12573  9p1e10  12651  pythagtriplem4  16790  vdwapun  16945  vdwap1  16948  vdwlem2  16953  prmgaplem7  17028  prmgapprmolem  17032  mulgnndir  19035  uniioombllem3  25486  ballotlem1  34478  ballotlem2  34480  ballotlemfmpn  34486  ballotlem4  34490  ballotlemimin  34497  ballotlemsdom  34503  ballotlemsel1i  34504  ballotlemfrceq  34520  ballotlemfrcn0  34521  ballotlem1ri  34526  ballotth  34529  nndivsub  36445  nnadddir  42258  gbepos  47759  gbowpos  47760  nnsgrpmgm  48164