MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaddcl 11298
Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnaddcl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6850 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 1))
21eleq1d 2829 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
32imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)))
4 oveq2 6850 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝑦))
54eleq1d 2829 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ))
65imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ)))
7 oveq2 6850 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
87eleq1d 2829 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
98imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
10 oveq2 6850 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝐵))
1110eleq1d 2829 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ))
1211imbi2d 331 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)))
13 peano2nn 11288 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
14 peano2nn 11288 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → ((𝐴 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ)
15 nncn 11283 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
16 nncn 11283 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 10247 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18 addass 10276 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
1917, 18mp3an3 1574 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
2015, 16, 19syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝑦) + 1) = (𝐴 + (𝑦 + 1)))
2120eleq1d 2829 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
2214, 21syl5ib 235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ))
2322expcom 402 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
2423a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝑦) ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + (𝑦 + 1)) ∈ ℕ)))
253, 6, 9, 12, 13, 24nnind 11294 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ))
2625impcom 396 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192  cn 11274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-1cn 10247  ax-addcl 10249  ax-addass 10254
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-nn 11275
This theorem is referenced by:  nnmulcl  11299  nnmulclOLD  11300  nnaddcld  11324  nnnn0addcl  11570  nn0addcl  11575  zaddcl  11664  9p1e10  11742  pythagtriplem4  15805  vdwapun  15959  vdwap1  15962  vdwlem2  15967  prmgaplem7  16042  prmgapprmolem  16046  mulgnndir  17837  uniioombllem3  23643  numclwwlk2lem1OLD  27626  ballotlem1  30931  ballotlem2  30933  ballotlemfmpn  30939  ballotlem4  30943  ballotlemimin  30950  ballotlemsdom  30956  ballotlemsel1i  30957  ballotlemfrceq  30973  ballotlemfrcn0  30974  ballotlem1ri  30979  ballotth  30982  nndivsub  32827  gbepos  42254  gbowpos  42255  nnsgrpmgm  42417
  Copyright terms: Public domain W3C validator