Theorem rnfi 9247

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5636	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9107	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9242	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2844	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626  Fincfn 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-1o 8402  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9248  unirnffid  9254  abrexfi  9259  imafi2  9268  gsum2dlem1  19943  gsum2dlem2  19944  tsmsxplem1  24143  prdsmet  24360  itg1addlem4  25691  relfi  32698  elrgspnsubrunlem1  33335  elrgspnsubrunlem2  33336  cmpcref  34041  carsggect  34509  carsgclctunlem2  34510  carsgclctunlem3  34511  breprexplema  34821  ptrecube  37994  heicant  38029  mblfinlem1  38031  ftc1anclem3  38069  istotbnd3  38145  sstotbnd2  38148  sstotbnd  38149  totbndbnd  38163  cantnfub  43773  cantnfub2  43774  rnmptfi  45625  rnffi  45629  choicefi  45653  stoweidlem39  46489  stoweidlem59  46509  fourierdlem31  46588  fourierdlem42  46599  fourierdlem54  46610  aacllem  50298