Theorem rnfi 9291

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5649	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9140	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9286	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-en 8919  df-dom 8920  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9292  unirnffid  9298  abrexfi  9303  gsum2dlem1  19900  gsum2dlem2  19901  tsmsxplem1  24040  prdsmet  24258  itg1addlem4  25600  relfi  32531  imafi2  32635  elrgspnsubrunlem1  33198  elrgspnsubrunlem2  33199  cmpcref  33840  carsggect  34309  carsgclctunlem2  34310  carsgclctunlem3  34311  breprexplema  34621  ptrecube  37614  heicant  37649  mblfinlem1  37651  ftc1anclem3  37689  istotbnd3  37765  sstotbnd2  37768  sstotbnd  37769  totbndbnd  37783  cantnfub  43310  cantnfub2  43311  rnmptfi  45165  rnffi  45169  choicefi  45194  stoweidlem39  46037  stoweidlem59  46057  fourierdlem31  46136  fourierdlem42  46147  fourierdlem54  46158  aacllem  49790