MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnfi 9282
Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
rnfi (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi
StepHypRef Expression
1 df-rn 5645 . 2 ran 𝐴 = dom 𝐴
2 cnvfi 9127 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
3 dmfi 9277 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
51, 4eqeltrid 2838 1 (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9283  unirnffid  9291  abrexfi  9299  gsum2dlem1  19752  gsum2dlem2  19753  tsmsxplem1  23520  prdsmet  23739  itg1addlem4  25079  relfi  31566  imafi2  31675  cmpcref  32488  carsggect  32975  carsgclctunlem2  32976  carsgclctunlem3  32977  breprexplema  33300  ptrecube  36124  heicant  36159  mblfinlem1  36161  ftc1anclem3  36199  istotbnd3  36276  sstotbnd2  36279  sstotbnd  36280  totbndbnd  36294  cantnfub  41699  cantnfub2  41700  rnmptfi  43476  rnffi  43480  choicefi  43508  stoweidlem39  44366  stoweidlem59  44386  fourierdlem31  44465  fourierdlem42  44476  fourierdlem54  44487  aacllem  47334
  Copyright terms: Public domain W3C validator