Theorem rnfi 9408

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5711	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9403	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2848	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-en 9004  df-dom 9005  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9409  unirnffid  9415  abrexfi  9422  gsum2dlem1  20012  gsum2dlem2  20013  tsmsxplem1  24182  prdsmet  24401  itg1addlem4  25753  relfi  32624  imafi2  32725  cmpcref  33796  carsggect  34283  carsgclctunlem2  34284  carsgclctunlem3  34285  breprexplema  34607  ptrecube  37580  heicant  37615  mblfinlem1  37617  ftc1anclem3  37655  istotbnd3  37731  sstotbnd2  37734  sstotbnd  37735  totbndbnd  37749  cantnfub  43283  cantnfub2  43284  rnmptfi  45078  rnffi  45082  choicefi  45107  stoweidlem39  45960  stoweidlem59  45980  fourierdlem31  46059  fourierdlem42  46070  fourierdlem54  46081  aacllem  48895