Theorem rnfi 9243

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5635	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9238	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9244  unirnffid  9250  abrexfi  9255  imafi2  9264  gsum2dlem1  19936  gsum2dlem2  19937  tsmsxplem1  24128  prdsmet  24345  itg1addlem4  25676  relfi  32687  elrgspnsubrunlem1  33323  elrgspnsubrunlem2  33324  cmpcref  34010  carsggect  34478  carsgclctunlem2  34479  carsgclctunlem3  34480  breprexplema  34790  ptrecube  37955  heicant  37990  mblfinlem1  37992  ftc1anclem3  38030  istotbnd3  38106  sstotbnd2  38109  sstotbnd  38110  totbndbnd  38124  cantnfub  43767  cantnfub2  43768  rnmptfi  45619  rnffi  45623  choicefi  45647  stoweidlem39  46485  stoweidlem59  46505  fourierdlem31  46584  fourierdlem42  46595  fourierdlem54  46606  aacllem  50288