Theorem rnfi 9322

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5662	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9317	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970

This theorem is used by:  f1dmvrnfibi  9323  unirnffid  9329  abrexfi  9334  imafi2  9343  gsum2dlem1  20177  gsum2dlem2  20178  tsmsxplem1  24465  prdsmet  24682  itg1addlem4  26013  relfi  33189  elrgspnsubrunlem1  33801  elrgspnsubrunlem2  33802  cmpcref  34475  carsggect  34943  carsgclctunlem2  34944  carsgclctunlem3  34945  breprexplema  35252  ptrecube  38518  heicant  38553  mblfinlem1  38555  ftc1anclem3  38593  istotbnd3  38685  sstotbnd2  38688  sstotbnd  38689  totbndbnd  38703  cantnfub  44307  cantnfub2  44308  rnmptfi  46155  rnffi  46159  choicefi  46183  stoweidlem39  47018  stoweidlem59  47038  fourierdlem31  47117  fourierdlem42  47128  fourierdlem54  47139  aacllem  50908