Theorem rnfi 9307

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5677	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9302	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2870	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-1o 8462  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956

This theorem is used by:  f1dmvrnfibi  9308  unirnffid  9314  abrexfi  9319  imafi2  9328  gsum2dlem1  20065  gsum2dlem2  20066  tsmsxplem1  24340  prdsmet  24557  itg1addlem4  25888  relfi  32977  elrgspnsubrunlem1  33591  elrgspnsubrunlem2  33592  cmpcref  34264  carsggect  34732  carsgclctunlem2  34733  carsgclctunlem3  34734  breprexplema  35041  ptrecube  38304  heicant  38339  mblfinlem1  38341  ftc1anclem3  38379  istotbnd3  38455  sstotbnd2  38458  sstotbnd  38459  totbndbnd  38473  cantnfub  44081  cantnfub2  44082  rnmptfi  45922  rnffi  45926  choicefi  45950  stoweidlem39  46786  stoweidlem59  46806  fourierdlem31  46885  fourierdlem42  46896  fourierdlem54  46907  aacllem  50654