MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnfi 8484
Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
rnfi (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi
StepHypRef Expression
1 df-rn 5322 . 2 ran 𝐴 = dom 𝐴
2 cnvfi 8483 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
3 dmfi 8479 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
51, 4syl5eqel 2889 1 (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2156  ccnv 5310  dom cdm 5311  ran crn 5312  Fincfn 8188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-1o 7792  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-fin 8192
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8485  unirnffid  8493  abrexfi  8501  gsum2dlem1  18566  gsum2dlem2  18567  tsmsxplem1  22166  prdsmet  22385  relfi  29739  imafi2  29815  cmpcref  30241  carsggect  30704  carsgclctunlem2  30705  carsgclctunlem3  30706  breprexplema  31032  ptrecube  33720  heicant  33755  mblfinlem1  33757  ftc1anclem3  33797  istotbnd3  33879  sstotbnd2  33882  sstotbnd  33883  totbndbnd  33897  rnmptfi  39837  rnffi  39842  choicefi  39876  stoweidlem39  40732  stoweidlem59  40752  fourierdlem31  40831  fourierdlem42  40842  fourierdlem54  40853  aacllem  43115
  Copyright terms: Public domain W3C validator