Theorem rnfi 9378

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5700	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9373	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9379  unirnffid  9385  abrexfi  9390  gsum2dlem1  20003  gsum2dlem2  20004  tsmsxplem1  24177  prdsmet  24396  itg1addlem4  25748  relfi  32622  imafi2  32729  cmpcref  33811  carsggect  34300  carsgclctunlem2  34301  carsgclctunlem3  34302  breprexplema  34624  ptrecube  37607  heicant  37642  mblfinlem1  37644  ftc1anclem3  37682  istotbnd3  37758  sstotbnd2  37761  sstotbnd  37762  totbndbnd  37776  cantnfub  43311  cantnfub2  43312  rnmptfi  45114  rnffi  45118  choicefi  45143  stoweidlem39  45995  stoweidlem59  46015  fourierdlem31  46094  fourierdlem42  46105  fourierdlem54  46116  aacllem  49032