Theorem rnfi 9250

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5642	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9110	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9245	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9251  unirnffid  9257  abrexfi  9262  imafi2  9271  gsum2dlem1  19945  gsum2dlem2  19946  tsmsxplem1  24118  prdsmet  24335  itg1addlem4  25666  relfi  32672  elrgspnsubrunlem1  33308  elrgspnsubrunlem2  33309  cmpcref  33994  carsggect  34462  carsgclctunlem2  34463  carsgclctunlem3  34464  breprexplema  34774  ptrecube  37941  heicant  37976  mblfinlem1  37978  ftc1anclem3  38016  istotbnd3  38092  sstotbnd2  38095  sstotbnd  38096  totbndbnd  38110  cantnfub  43749  cantnfub2  43750  rnmptfi  45601  rnffi  45605  choicefi  45629  stoweidlem39  46467  stoweidlem59  46487  fourierdlem31  46566  fourierdlem42  46577  fourierdlem54  46588  aacllem  50276