Theorem rnfi 9352

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5665	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9190	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9347	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655  Fincfn 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8480  df-en 8960  df-dom 8961  df-fin 8963

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9353  unirnffid  9359  abrexfi  9364  gsum2dlem1  19951  gsum2dlem2  19952  tsmsxplem1  24091  prdsmet  24309  itg1addlem4  25652  relfi  32583  imafi2  32689  elrgspnsubrunlem1  33242  elrgspnsubrunlem2  33243  cmpcref  33881  carsggect  34350  carsgclctunlem2  34351  carsgclctunlem3  34352  breprexplema  34662  ptrecube  37644  heicant  37679  mblfinlem1  37681  ftc1anclem3  37719  istotbnd3  37795  sstotbnd2  37798  sstotbnd  37799  totbndbnd  37813  cantnfub  43345  cantnfub2  43346  rnmptfi  45195  rnffi  45199  choicefi  45224  stoweidlem39  46068  stoweidlem59  46088  fourierdlem31  46167  fourierdlem42  46178  fourierdlem54  46189  aacllem  49665