Theorem rnfi 9233

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5632	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9094	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9228	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622  Fincfn 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-1o 8393  df-en 8878  df-dom 8879  df-fin 8881

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9234  unirnffid  9240  abrexfi  9245  gsum2dlem1  19886  gsum2dlem2  19887  tsmsxplem1  24071  prdsmet  24288  itg1addlem4  25630  relfi  32586  imafi2  32699  elrgspnsubrunlem1  33223  elrgspnsubrunlem2  33224  cmpcref  33886  carsggect  34354  carsgclctunlem2  34355  carsgclctunlem3  34356  breprexplema  34666  ptrecube  37683  heicant  37718  mblfinlem1  37720  ftc1anclem3  37758  istotbnd3  37834  sstotbnd2  37837  sstotbnd  37838  totbndbnd  37852  cantnfub  43441  cantnfub2  43442  rnmptfi  45295  rnffi  45299  choicefi  45324  stoweidlem39  46164  stoweidlem59  46184  fourierdlem31  46263  fourierdlem42  46274  fourierdlem54  46285  aacllem  49929