Theorem rnfi 9240

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5635	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9100	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9235	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9241  unirnffid  9247  abrexfi  9252  imafi2  9261  gsum2dlem1  19899  gsum2dlem2  19900  tsmsxplem1  24097  prdsmet  24314  itg1addlem4  25656  relfi  32677  elrgspnsubrunlem1  33329  elrgspnsubrunlem2  33330  cmpcref  34007  carsggect  34475  carsgclctunlem2  34476  carsgclctunlem3  34477  breprexplema  34787  ptrecube  37821  heicant  37856  mblfinlem1  37858  ftc1anclem3  37896  istotbnd3  37972  sstotbnd2  37975  sstotbnd  37976  totbndbnd  37990  cantnfub  43563  cantnfub2  43564  rnmptfi  45415  rnffi  45419  choicefi  45444  stoweidlem39  46283  stoweidlem59  46303  fourierdlem31  46382  fourierdlem42  46393  fourierdlem54  46404  aacllem  50046