Theorem rnfi 9380

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5696	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9375	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9381  unirnffid  9387  abrexfi  9392  gsum2dlem1  19988  gsum2dlem2  19989  tsmsxplem1  24161  prdsmet  24380  itg1addlem4  25734  relfi  32615  imafi2  32723  elrgspnsubrunlem1  33251  elrgspnsubrunlem2  33252  cmpcref  33849  carsggect  34320  carsgclctunlem2  34321  carsgclctunlem3  34322  breprexplema  34645  ptrecube  37627  heicant  37662  mblfinlem1  37664  ftc1anclem3  37702  istotbnd3  37778  sstotbnd2  37781  sstotbnd  37782  totbndbnd  37796  cantnfub  43334  cantnfub2  43335  rnmptfi  45176  rnffi  45180  choicefi  45205  stoweidlem39  46054  stoweidlem59  46074  fourierdlem31  46153  fourierdlem42  46164  fourierdlem54  46175  aacllem  49320