Theorem rnfi 8840

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5535	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 8839	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 8835	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2856	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5523  dom cdm 5524  ran crn 5525  Fincfn 8527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-fin 8531

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8841  unirnffid  8849  abrexfi  8857  gsum2dlem1  19158  gsum2dlem2  19159  tsmsxplem1  22853  prdsmet  23072  relfi  30463  imafi2  30570  cmpcref  31321  carsggect  31804  carsgclctunlem2  31805  carsgclctunlem3  31806  breprexplema  32129  ptrecube  35337  heicant  35372  mblfinlem1  35374  ftc1anclem3  35412  istotbnd3  35489  sstotbnd2  35492  sstotbnd  35493  totbndbnd  35507  rnmptfi  42166  rnffi  42170  choicefi  42199  stoweidlem39  43047  stoweidlem59  43067  fourierdlem31  43146  fourierdlem42  43157  fourierdlem54  43168  aacllem  45720