Theorem rnfi 9331

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5686	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9326	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fincfn 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9332  unirnffid  9340  abrexfi  9348  gsum2dlem1  19830  gsum2dlem2  19831  tsmsxplem1  23639  prdsmet  23858  itg1addlem4  25198  relfi  31811  imafi2  31914  cmpcref  32768  carsggect  33255  carsgclctunlem2  33256  carsgclctunlem3  33257  breprexplema  33580  ptrecube  36426  heicant  36461  mblfinlem1  36463  ftc1anclem3  36501  istotbnd3  36577  sstotbnd2  36580  sstotbnd  36581  totbndbnd  36595  cantnfub  42004  cantnfub2  42005  rnmptfi  43800  rnffi  43804  choicefi  43832  stoweidlem39  44690  stoweidlem59  44710  fourierdlem31  44789  fourierdlem42  44800  fourierdlem54  44811  aacllem  47750