Theorem rnfi 9307

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5666	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9302	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-en 8953  df-dom 8954  df-fin 8956

This theorem is used by:  f1dmvrnfibi  9308  unirnffid  9314  abrexfi  9319  imafi2  9328  gsum2dlem1  20097  gsum2dlem2  20098  tsmsxplem1  24379  prdsmet  24596  itg1addlem4  25927  relfi  33075  elrgspnsubrunlem1  33687  elrgspnsubrunlem2  33688  cmpcref  34360  carsggect  34829  carsgclctunlem2  34830  carsgclctunlem3  34831  breprexplema  35138  ptrecube  38369  heicant  38404  mblfinlem1  38406  ftc1anclem3  38444  istotbnd3  38521  sstotbnd2  38524  sstotbnd  38525  totbndbnd  38539  cantnfub  44162  cantnfub2  44163  rnmptfi  46003  rnffi  46007  choicefi  46031  stoweidlem39  46867  stoweidlem59  46887  fourierdlem31  46966  fourierdlem42  46977  fourierdlem54  46988  aacllem  50772