Theorem rnfi 9286

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5649	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9131	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9281	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2836	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  Fincfn 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9287  unirnffid  9295  abrexfi  9303  gsum2dlem1  19761  gsum2dlem2  19762  tsmsxplem1  23541  prdsmet  23760  itg1addlem4  25100  relfi  31587  imafi2  31696  cmpcref  32520  carsggect  33007  carsgclctunlem2  33008  carsgclctunlem3  33009  breprexplema  33332  ptrecube  36151  heicant  36186  mblfinlem1  36188  ftc1anclem3  36226  istotbnd3  36303  sstotbnd2  36306  sstotbnd  36307  totbndbnd  36321  cantnfub  41714  cantnfub2  41715  rnmptfi  43510  rnffi  43514  choicefi  43542  stoweidlem39  44400  stoweidlem59  44420  fourierdlem31  44499  fourierdlem42  44510  fourierdlem54  44521  aacllem  47368