Theorem rnfi 8801

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5561	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 8800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 8796	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ^◡ccnv 5549  dom cdm 5550  ran crn 5551  Fincfn 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-1o 8096  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-fin 8507

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8802  unirnffid  8810  abrexfi  8818  gsum2dlem1  19084  gsum2dlem2  19085  tsmsxplem1  22755  prdsmet  22974  relfi  30346  imafi2  30441  cmpcref  31109  carsggect  31571  carsgclctunlem2  31572  carsgclctunlem3  31573  breprexplema  31896  ptrecube  34886  heicant  34921  mblfinlem1  34923  ftc1anclem3  34963  istotbnd3  35043  sstotbnd2  35046  sstotbnd  35047  totbndbnd  35061  rnmptfi  41419  rnffi  41423  choicefi  41455  stoweidlem39  42317  stoweidlem59  42337  fourierdlem31  42416  fourierdlem42  42427  fourierdlem54  42438  aacllem  44895