Theorem rnfi 9300

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5674	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9295	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664  Fincfn 8945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-1o 8455  df-en 8946  df-dom 8947  df-fin 8949

This theorem is used by:  f1dmvrnfibi  9301  unirnffid  9307  abrexfi  9312  imafi2  9321  gsum2dlem1  20063  gsum2dlem2  20064  tsmsxplem1  24339  prdsmet  24556  itg1addlem4  25887  relfi  32976  elrgspnsubrunlem1  33590  elrgspnsubrunlem2  33591  cmpcref  34263  carsggect  34732  carsgclctunlem2  34733  carsgclctunlem3  34734  breprexplema  35041  ptrecube  38304  heicant  38339  mblfinlem1  38341  ftc1anclem3  38379  istotbnd3  38455  sstotbnd2  38458  sstotbnd  38459  totbndbnd  38473  cantnfub  44081  cantnfub2  44082  rnmptfi  45922  rnffi  45926  choicefi  45950  stoweidlem39  46786  stoweidlem59  46806  fourierdlem31  46885  fourierdlem42  46896  fourierdlem54  46907  aacllem  50654