Theorem rnfi 9298

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5652	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9293	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641  ran crn 5642  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9299  unirnffid  9305  abrexfi  9310  gsum2dlem1  19907  gsum2dlem2  19908  tsmsxplem1  24047  prdsmet  24265  itg1addlem4  25607  relfi  32538  imafi2  32642  elrgspnsubrunlem1  33205  elrgspnsubrunlem2  33206  cmpcref  33847  carsggect  34316  carsgclctunlem2  34317  carsgclctunlem3  34318  breprexplema  34628  ptrecube  37621  heicant  37656  mblfinlem1  37658  ftc1anclem3  37696  istotbnd3  37772  sstotbnd2  37775  sstotbnd  37776  totbndbnd  37790  cantnfub  43317  cantnfub2  43318  rnmptfi  45172  rnffi  45176  choicefi  45201  stoweidlem39  46044  stoweidlem59  46064  fourierdlem31  46143  fourierdlem42  46154  fourierdlem54  46165  aacllem  49794