Theorem rnfi 9333

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5661	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9195	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9328	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651  Fincfn 8977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-1o 8480  df-en 8978  df-dom 8979  df-fin 8981

This theorem is used by:  f1dmvrnfibi  9334  unirnffid  9340  abrexfi  9345  imafi2  9354  gsum2dlem1  20190  gsum2dlem2  20191  tsmsxplem1  24478  prdsmet  24695  itg1addlem4  26026  relfi  33244  elrgspnsubrunlem1  33855  elrgspnsubrunlem2  33856  cmpcref  34529  carsggect  34997  carsgclctunlem2  34998  carsgclctunlem3  34999  breprexplema  35306  ptrecube  38632  heicant  38667  mblfinlem1  38669  ftc1anclem3  38707  istotbnd3  38799  sstotbnd2  38802  sstotbnd  38803  totbndbnd  38817  cantnfub  44417  cantnfub2  44418  rnmptfi  46280  rnffi  46284  choicefi  46308  stoweidlem39  47143  stoweidlem59  47163  fourierdlem31  47242  fourierdlem42  47253  fourierdlem54  47264  aacllem  51108