Theorem rnfi 9285

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5662	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9280	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-en 8932  df-dom 8933  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9286  unirnffid  9292  abrexfi  9297  imafi2  9306  gsum2dlem1  20028  gsum2dlem2  20029  tsmsxplem1  24267  prdsmet  24484  itg1addlem4  25815  relfi  32853  elrgspnsubrunlem1  33475  elrgspnsubrunlem2  33476  cmpcref  34152  carsggect  34620  carsgclctunlem2  34621  carsgclctunlem3  34622  breprexplema  34929  ptrecube  38126  heicant  38161  mblfinlem1  38163  ftc1anclem3  38201  istotbnd3  38277  sstotbnd2  38280  sstotbnd  38281  totbndbnd  38295  cantnfub  43905  cantnfub2  43906  rnmptfi  45748  rnffi  45752  choicefi  45776  stoweidlem39  46612  stoweidlem59  46632  fourierdlem31  46711  fourierdlem42  46722  fourierdlem54  46733  aacllem  50431