Theorem rnfi 9276

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5654	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9271	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643  ran crn 5644  Fincfn 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-1o 8430  df-en 8921  df-dom 8922  df-fin 8924

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9277  unirnffid  9283  abrexfi  9288  imafi2  9297  gsum2dlem1  20000  gsum2dlem2  20001  tsmsxplem1  24200  prdsmet  24417  itg1addlem4  25748  relfi  32761  elrgspnsubrunlem1  33388  elrgspnsubrunlem2  33389  cmpcref  34107  carsggect  34575  carsgclctunlem2  34576  carsgclctunlem3  34577  breprexplema  34884  ptrecube  38079  heicant  38114  mblfinlem1  38116  ftc1anclem3  38154  istotbnd3  38230  sstotbnd2  38233  sstotbnd  38234  totbndbnd  38248  cantnfub  43858  cantnfub2  43859  rnmptfi  45709  rnffi  45713  choicefi  45737  stoweidlem39  46573  stoweidlem59  46593  fourierdlem31  46672  fourierdlem42  46683  fourierdlem54  46694  aacllem  50382