Theorem rnfi 9252

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5643	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9112	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9247	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2841	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9253  unirnffid  9259  abrexfi  9264  imafi2  9273  gsum2dlem1  19911  gsum2dlem2  19912  tsmsxplem1  24109  prdsmet  24326  itg1addlem4  25668  relfi  32688  elrgspnsubrunlem1  33340  elrgspnsubrunlem2  33341  cmpcref  34027  carsggect  34495  carsgclctunlem2  34496  carsgclctunlem3  34497  breprexplema  34807  ptrecube  37868  heicant  37903  mblfinlem1  37905  ftc1anclem3  37943  istotbnd3  38019  sstotbnd2  38022  sstotbnd  38023  totbndbnd  38037  cantnfub  43675  cantnfub2  43676  rnmptfi  45527  rnffi  45531  choicefi  45555  stoweidlem39  46394  stoweidlem59  46414  fourierdlem31  46493  fourierdlem42  46504  fourierdlem54  46515  aacllem  50157