Theorem rnfi 9230

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5630	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9225	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-1o 8388  df-en 8873  df-dom 8874  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9231  unirnffid  9237  abrexfi  9242  gsum2dlem1  19849  gsum2dlem2  19850  tsmsxplem1  24038  prdsmet  24256  itg1addlem4  25598  relfi  32551  imafi2  32662  elrgspnsubrunlem1  33196  elrgspnsubrunlem2  33197  cmpcref  33833  carsggect  34302  carsgclctunlem2  34303  carsgclctunlem3  34304  breprexplema  34614  ptrecube  37620  heicant  37655  mblfinlem1  37657  ftc1anclem3  37695  istotbnd3  37771  sstotbnd2  37774  sstotbnd  37775  totbndbnd  37789  cantnfub  43314  cantnfub2  43315  rnmptfi  45169  rnffi  45173  choicefi  45198  stoweidlem39  46040  stoweidlem59  46060  fourierdlem31  46139  fourierdlem42  46150  fourierdlem54  46161  aacllem  49806