Theorem rnfi 8653

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5454	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 8652	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 8648	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	syl5eqel 2887	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081  ^◡ccnv 5442  dom cdm 5443  ran crn 5444  Fincfn 8357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-1o 7953  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-fin 8361

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8654  unirnffid  8662  abrexfi  8670  gsum2dlem1  18810  gsum2dlem2  18811  tsmsxplem1  22444  prdsmet  22663  relfi  30042  imafi2  30135  cmpcref  30731  carsggect  31193  carsgclctunlem2  31194  carsgclctunlem3  31195  breprexplema  31518  ptrecube  34442  heicant  34477  mblfinlem1  34479  ftc1anclem3  34519  istotbnd3  34600  sstotbnd2  34603  sstotbnd  34604  totbndbnd  34618  rnmptfi  40986  rnffi  40990  choicefi  41022  stoweidlem39  41886  stoweidlem59  41906  fourierdlem31  41985  fourierdlem42  41996  fourierdlem54  42007  aacllem  44402