Theorem rnfi 9298

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5674	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9161	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9293	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664  Fincfn 8944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8454  df-en 8945  df-dom 8946  df-fin 8948

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9299  unirnffid  9305  abrexfi  9310  imafi2  9319  gsum2dlem1  20041  gsum2dlem2  20042  tsmsxplem1  24291  prdsmet  24508  itg1addlem4  25839  relfi  32928  elrgspnsubrunlem1  33548  elrgspnsubrunlem2  33549  cmpcref  34221  carsggect  34689  carsgclctunlem2  34690  carsgclctunlem3  34691  breprexplema  34998  ptrecube  38252  heicant  38287  mblfinlem1  38289  ftc1anclem3  38327  istotbnd3  38403  sstotbnd2  38406  sstotbnd  38407  totbndbnd  38421  cantnfub  44031  cantnfub2  44032  rnmptfi  45872  rnffi  45876  choicefi  45900  stoweidlem39  46736  stoweidlem59  46756  fourierdlem31  46835  fourierdlem42  46846  fourierdlem54  46857  aacllem  50584