MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthmeo 22386
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2 𝑌 = dom 𝑆
Assertion
Ref Expression
ordthmeo ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3 𝑋 = dom 𝑅
2 ordthmeo.2 . . 3 𝑌 = dom 𝑆
31, 2ordthmeolem 22385 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4 isocnv 7060 . . 3 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
52, 1ordthmeolem 22385 . . . 4 ((𝑆𝑊𝑅𝑉𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
653com12 1119 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
74, 6syl3an3 1161 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8 ishmeo 22343 . 2 (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
93, 7, 8sylanbrc 585 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  ccnv 5530  dom cdm 5531  cfv 6331   Isom wiso 6332  (class class class)co 7133  ordTopcordt 16751   Cn ccn 21808  Homeochmeo 22337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-fin 8491  df-fi 8853  df-topgen 16696  df-ordt 16753  df-top 21478  df-topon 21495  df-bases 21530  df-cn 21811  df-hmeo 22339
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  23527  iccpnfhmeo  23529  xrhmeo  23530  xrge0iifhmeo  31187
  Copyright terms: Public domain W3C validator