Theorem ordthmeo 23650

Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordthmeo.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2	⊢ 𝑌 = dom 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ordthmeo	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordthmeo.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2		ordthmeo.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = dom 𝑆
3	1, 2	ordthmeolem 23649	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4		isocnv 7320	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
5	2, 1	ordthmeolem 23649	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
6	5	3com12 1120	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
7	4, 6	syl3an3 1162	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8		ishmeo 23607	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
9	3, 7, 8	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ^◡ccnv 5666  dom cdm 5667  ‘cfv 6534   Isom wiso 6535  (class class class)co 7402  ordTopcordt 17450   Cn ccn 23072  Homeochmeo 23601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-fin 8940  df-fi 9403  df-topgen 17394  df-ordt 17452  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-cn 23075  df-hmeo 23603

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24812  iccpnfhmeo  24814  xrhmeo  24815  xrge0iifhmeo  33435