Theorem ordthmeo 23665

Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordthmeo.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2	⊢ 𝑌 = dom 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ordthmeo	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordthmeo.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2		ordthmeo.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = dom 𝑆
3	1, 2	ordthmeolem 23664	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4		isocnv 7287	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
5	2, 1	ordthmeolem 23664	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
6	5	3com12 1123	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
7	4, 6	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8		ishmeo 23622	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
9	3, 7, 8	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ‘cfv 6499   Isom wiso 6500  (class class class)co 7369  ordTopcordt 17438   Cn ccn 23087  Homeochmeo 23616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-2o 8412  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-fi 9338  df-topgen 17382  df-ordt 17440  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-cn 23090  df-hmeo 23618

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24817  iccpnfhmeo  24819  xrhmeo  24820  xrge0iifhmeo  33899