Theorem ordthmeo 23862

Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordthmeo.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2	⊢ 𝑌 = dom 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ordthmeo	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordthmeo.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2		ordthmeo.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = dom 𝑆
3	1, 2	ordthmeolem 23861	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4		isocnv 7314	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
5	2, 1	ordthmeolem 23861	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
6	5	3com12 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
7	4, 6	syl3an3 1178	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8		ishmeo 23819	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
9	3, 7, 8	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  ‘cfv 6521   Isom wiso 6522  (class class class)co 7396  ordTopcordt 17529   Cn ccn 23284  Homeochmeo 23813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8437  df-2o 8438  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-fin 8931  df-fi 9357  df-topgen 17472  df-ordt 17531  df-top 22954  df-topon 22971  df-bases 23006  df-cn 23287  df-hmeo 23815

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  25005  iccpnfhmeo  25007  xrhmeo  25008  xrge0iifhmeo  34233