MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthmeo 23705
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2 π‘Œ = dom 𝑆
Assertion
Ref Expression
ordthmeo ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…)Homeo(ordTopβ€˜π‘†)))

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3 𝑋 = dom 𝑅
2 ordthmeo.2 . . 3 π‘Œ = dom 𝑆
31, 2ordthmeolem 23704 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)))
4 isocnv 7338 . . 3 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) β†’ ◑𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (π‘Œ, 𝑋))
52, 1ordthmeolem 23704 . . . 4 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ◑𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (π‘Œ, 𝑋)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…)))
653com12 1121 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ ◑𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (π‘Œ, 𝑋)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…)))
74, 6syl3an3 1163 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…)))
8 ishmeo 23662 . 2 (𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…)Homeo(ordTopβ€˜π‘†)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)) ∧ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…))))
93, 7, 8sylanbrc 582 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…)Homeo(ordTopβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β—‘ccnv 5677  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548   Isom wiso 6549  (class class class)co 7420  ordTopcordt 17480   Cn ccn 23127  Homeochmeo 23656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-fin 8967  df-fi 9434  df-topgen 17424  df-ordt 17482  df-top 22795  df-topon 22812  df-bases 22848  df-cn 23130  df-hmeo 23658
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24867  iccpnfhmeo  24869  xrhmeo  24870  xrge0iifhmeo  33537
  Copyright terms: Public domain W3C validator