Theorem ordthmeo 23717

Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordthmeo.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2	⊢ 𝑌 = dom 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ordthmeo	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordthmeo.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2		ordthmeo.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = dom 𝑆
3	1, 2	ordthmeolem 23716	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4		isocnv 7264	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
5	2, 1	ordthmeolem 23716	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
6	5	3com12 1123	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
7	4, 6	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8		ishmeo 23674	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
9	3, 7, 8	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614  ‘cfv 6481   Isom wiso 6482  (class class class)co 7346  ordTopcordt 17403   Cn ccn 23139  Homeochmeo 23668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-2o 8386  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-fin 8873  df-fi 9295  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cn 23142  df-hmeo 23670

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24868  iccpnfhmeo  24870  xrhmeo  24871  xrge0iifhmeo  33949