MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthmeo 23176
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2 π‘Œ = dom 𝑆
Assertion
Ref Expression
ordthmeo ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…)Homeo(ordTopβ€˜π‘†)))

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3 𝑋 = dom 𝑅
2 ordthmeo.2 . . 3 π‘Œ = dom 𝑆
31, 2ordthmeolem 23175 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)))
4 isocnv 7279 . . 3 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ) β†’ ◑𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (π‘Œ, 𝑋))
52, 1ordthmeolem 23175 . . . 4 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ◑𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (π‘Œ, 𝑋)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…)))
653com12 1124 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ ◑𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (π‘Œ, 𝑋)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…)))
74, 6syl3an3 1166 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…)))
8 ishmeo 23133 . 2 (𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…)Homeo(ordTopβ€˜π‘†)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) Cn (ordTopβ€˜π‘†)) ∧ ◑𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘†) Cn (ordTopβ€˜π‘…))))
93, 7, 8sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, π‘Œ)) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜π‘…)Homeo(ordTopβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7361  ordTopcordt 17389   Cn ccn 22598  Homeochmeo 23127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-fi 9355  df-topgen 17333  df-ordt 17391  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-hmeo 23129
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24329  iccpnfhmeo  24331  xrhmeo  24332  xrge0iifhmeo  32581
  Copyright terms: Public domain W3C validator