Theorem ordthmeo 23826

Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordthmeo.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2	⊢ 𝑌 = dom 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ordthmeo	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordthmeo.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
2		ordthmeo.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = dom 𝑆
3	1, 2	ordthmeolem 23825	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4		isocnv 7350	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
5	2, 1	ordthmeolem 23825	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
6	5	3com12 1122	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
7	4, 6	syl3an3 1164	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8		ishmeo 23783	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ ◡𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
9	3, 7, 8	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ‘cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  ordTopcordt 17546   Cn ccn 23248  Homeochmeo 23777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-hmeo 23779

This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24988  iccpnfhmeo  24990  xrhmeo  24991  xrge0iifhmeo  33897