MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordthmeo 23810
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1 𝑋 = dom 𝑅
ordthmeo.2 𝑌 = dom 𝑆
Assertion
Ref Expression
ordthmeo ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3 𝑋 = dom 𝑅
2 ordthmeo.2 . . 3 𝑌 = dom 𝑆
31, 2ordthmeolem 23809 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)))
4 isocnv 7350 . . 3 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌) → 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋))
52, 1ordthmeolem 23809 . . . 4 ((𝑆𝑊𝑅𝑉𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
653com12 1124 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝑌, 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
74, 6syl3an3 1166 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅)))
8 ishmeo 23767 . 2 (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅) Cn (ordTop‘𝑆)) ∧ 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑆) Cn (ordTop‘𝑅))))
93, 7, 8sylanbrc 583 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝑋, 𝑌)) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘𝑅)Homeo(ordTop‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ccnv 5684  dom cdm 5685  cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431  ordTopcordt 17544   Cn ccn 23232  Homeochmeo 23761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989  df-fi 9451  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-hmeo 23763
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  24974  iccpnfhmeo  24976  xrhmeo  24977  xrge0iifhmeo  33935
  Copyright terms: Public domain W3C validator