MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icchmeo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icchmeo 24457
Description: The natural bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐡] is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icchmeo.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
icchmeo.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
icchmeo ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem icchmeo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icchmeo.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)))
2 iitopon 24395 . . . . . 6 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
4 icchmeo.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54dfii3 24399 . . . . . . . . 9 II = (𝐽 β†Ύt (0[,]1))
65oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (II Cn II) = (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))
74cnfldtop 24300 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
8 cnrest2r 22791 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))) βŠ† (II Cn 𝐽))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))) βŠ† (II Cn 𝐽)
106, 9eqsstri 4017 . . . . . . 7 (II Cn II) βŠ† (II Cn 𝐽)
113cnmptid 23165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
1210, 11sselid 3981 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn 𝐽))
134cnfldtopon 24299 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
15 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1615recnd 11242 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
173, 14, 16cnmptc 23166 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 𝐡) ∈ (II Cn 𝐽))
184mulcn 24383 . . . . . . 7 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
203, 12, 17, 19cnmpt12f 23170 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝐡)) ∈ (II Cn 𝐽))
21 1cnd 11209 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 1 ∈ β„‚)
223, 14, 21cnmptc 23166 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ (II Cn 𝐽))
234subcn 24382 . . . . . . . 8 βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
253, 22, 12, 24cnmpt12f 23170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ π‘₯)) ∈ (II Cn 𝐽))
26 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2726recnd 11242 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
283, 14, 27cnmptc 23166 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ (II Cn 𝐽))
293, 25, 28, 19cnmpt12f 23170 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)) ∈ (II Cn 𝐽))
304addcn 24381 . . . . . 6 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
323, 20, 29, 31cnmpt12f 23170 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴))) ∈ (II Cn 𝐽))
331, 32eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
341iccf1o 13473 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
3534simpld 496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡))
36 f1of 6834 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(𝐴[,]𝐡))
37 frn 6725 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)⟢(𝐴[,]𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3835, 36, 373syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
39 iccssre 13406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
40393adant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
41 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
4240, 41sstrdi 3995 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
43 cnrest2 22790 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))))
4413, 38, 42, 43mp3an2i 1467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))))
4533, 44mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
4634simprd 497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
47 resttopon 22665 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
4813, 42, 47sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
49 cnrest2r 22791 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
507, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽)
5148cnmptid 23165 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
5250, 51sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
5348, 14, 27cnmptc 23166 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
5448, 52, 53, 24cnmpt12f 23170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
55 difrp 13012 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
5655biimp3a 1470 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
5756rpcnd 13018 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
5856rpne0d 13021 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0)
594divccn 24389 . . . . . . 7 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6057, 58, 59syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61 oveq1 7416 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 𝐴) β†’ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
6248, 54, 14, 60, 61cnmpt11 23167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
6346, 62eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
64 dfdm4 5896 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran ◑𝐹
6564eqimss2i 4044 . . . . . 6 ran ◑𝐹 βŠ† dom 𝐹
66 f1odm 6838 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) β†’ dom 𝐹 = (0[,]1))
6735, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ dom 𝐹 = (0[,]1))
6865, 67sseqtrid 4035 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ran ◑𝐹 βŠ† (0[,]1))
69 unitssre 13476 . . . . . . 7 (0[,]1) βŠ† ℝ
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (0[,]1) βŠ† ℝ)
7170, 41sstrdi 3995 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (0[,]1) βŠ† β„‚)
72 cnrest2 22790 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran ◑𝐹 βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))))
7313, 68, 71, 72mp3an2i 1467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))))
7463, 73mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))))
755oveq2i 7420 . . 3 ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II) = ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))
7674, 75eleqtrrdi 2845 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II))
77 ishmeo 23263 . 2 (𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II)))
7845, 76, 77sylanbrc 584 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„+crp 12974  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064  Homeochmeo 23257  IIcii 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393
This theorem is referenced by:  xrhmph  24463
  Copyright terms: Public domain W3C validator