MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icchmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icchmeo 23109
Description: The natural bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐵] is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icchmeo.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
icchmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
icchmeo ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icchmeo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icchmeo.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2 iitopon 23051 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 icchmeo.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54dfii3 23055 . . . . . . . . 9 II = (𝐽t (0[,]1))
65oveq2i 6915 . . . . . . . 8 (II Cn II) = (II Cn (𝐽t (0[,]1)))
74cnfldtop 22956 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
8 cnrest2r 21461 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t (0[,]1))) ⊆ (II Cn 𝐽))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (II Cn (𝐽t (0[,]1))) ⊆ (II Cn 𝐽)
106, 9eqsstri 3859 . . . . . . 7 (II Cn II) ⊆ (II Cn 𝐽)
113cnmptid 21834 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
1210, 11sseldi 3824 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn 𝐽))
134cnfldtopon 22955 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
15 simp2 1173 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615recnd 10384 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
173, 14, 16cnmptc 21835 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐵) ∈ (II Cn 𝐽))
184mulcn 23039 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
203, 12, 17, 19cnmpt12f 21839 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝐵)) ∈ (II Cn 𝐽))
21 1cnd 10350 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
223, 14, 21cnmptc 21835 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ (II Cn 𝐽))
234subcn 23038 . . . . . . . 8 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
253, 22, 12, 24cnmpt12f 21839 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn 𝐽))
26 simp1 1172 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726recnd 10384 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
283, 14, 27cnmptc 21835 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ (II Cn 𝐽))
293, 25, 28, 19cnmpt12f 21839 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (II Cn 𝐽))
304addcn 23037 . . . . . 6 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
323, 20, 29, 31cnmpt12f 21839 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))) ∈ (II Cn 𝐽))
331, 32syl5eqel 2909 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
341iccf1o 12608 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))))
3534simpld 490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵))
36 f1of 6377 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) → 𝐹:(0[,]1)⟶(𝐴[,]𝐵))
37 frn 6283 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)⟶(𝐴[,]𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3835, 36, 373syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
39 iccssre 12542 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40393adant3 1168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41 ax-resscn 10308 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4240, 41syl6ss 3838 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
43 cnrest2 21460 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))))
4414, 38, 42, 43syl3anc 1496 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))))
4533, 44mpbid 224 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
4634simprd 491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴))))
47 resttopon 21335 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
4813, 42, 47sylancr 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
49 cnrest2r 21461 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
507, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽)
5148cnmptid 21834 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sseldi 3824 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
5348, 14, 27cnmptc 21835 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
5448, 52, 53, 24cnmpt12f 21839 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦𝐴)) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
55 difrp 12151 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
5655biimp3a 1599 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
5756rpcnd 12157 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
5856rpne0d 12160 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ≠ 0)
594divccn 23045 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / (𝐵𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6057, 58, 59syl2anc 581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / (𝐵𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61 oveq1 6911 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝐴) → (𝑥 / (𝐵𝐴)) = ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))
6248, 54, 14, 60, 61cnmpt11 21836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴))) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
6346, 62eqeltrd 2905 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
64 dfdm4 5547 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran 𝐹
6564eqimss2i 3884 . . . . . 6 ran 𝐹 ⊆ dom 𝐹
66 f1odm 6381 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) → dom 𝐹 = (0[,]1))
6735, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → dom 𝐹 = (0[,]1))
6865, 67syl5sseq 3877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
69 unitssre 12611 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0[,]1) ⊆ ℝ)
7170, 41syl6ss 3838 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
72 cnrest2 21460 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))))
7314, 68, 71, 72syl3anc 1496 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))))
7463, 73mpbid 224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1))))
755oveq2i 6915 . . 3 ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II) = ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))
7674, 75syl6eleqr 2916 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II))
77 ishmeo 21932 . 2 (𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II)))
7845, 76, 77sylanbrc 580 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wss 3797   class class class wbr 4872  cmpt 4951  ccnv 5340  dom cdm 5341  ran crn 5342  wf 6118  1-1-ontowf1o 6121  cfv 6122  (class class class)co 6904  cc 10249  cr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   + caddc 10254   · cmul 10256   < clt 10390  cmin 10584   / cdiv 11008  +crp 12111  [,]cicc 12465  t crest 16433  TopOpenctopn 16434  fldccnfld 20105  Topctop 21067  TopOnctopon 21084   Cn ccn 21398   ×t ctx 21733  Homeochmeo 21926  IIcii 23047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-ii 23049
This theorem is referenced by:  xrhmph  23115
  Copyright terms: Public domain W3C validator