MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmphaushmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmphaushmeo 23824
Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmphaushmeo.1 𝑋 = 𝐽
cmphaushmeo.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cmphaushmeo ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))

Proof of Theorem cmphaushmeo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmphaushmeo.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 cmphaushmeo.2 . . 3 𝑌 = 𝐾
31, 2hmeof1o 23788 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
4 f1ocnv 6861 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
5 f1of 6849 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌𝑋)
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌𝑋))
8 f1orel 6852 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Rel 𝐹)
98ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → Rel 𝐹)
10 dfrel2 6211 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
119, 10sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐹 = 𝐹)
1211imaeq1d 6079 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 simp2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Haus)
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐾 ∈ Haus)
15 imassrn 6091 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ⊆ ran 𝐹
16 f1ofo 6856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
1716ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
18 forn 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → ran 𝐹 = 𝑌)
2015, 19sseqtrid 4048 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑌)
21 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐽 ∈ Comp)
24 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
25 cmpcld 23426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t 𝑥) ∈ Comp)
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐽t 𝑥) ∈ Comp)
27 imacmp 23421 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Comp) → (𝐾t (𝐹𝑥)) ∈ Comp)
2821, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐾t (𝐹𝑥)) ∈ Comp)
292hauscmp 23431 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Haus ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾t (𝐹𝑥)) ∈ Comp) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))
3014, 20, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))
3112, 30eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))
3231expr 456 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾)))
3332ralrimdva 3152 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾)))
347, 33jcad 512 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))))
35 haustop 23355 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
3613, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
372toptopon 22939 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3836, 37sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
39 cmptop 23419 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
4022, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
411toptopon 22939 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4240, 41sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
43 iscncl 23293 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))))
4438, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))))
4534, 44sylibrd 259 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
46 simp3 1137 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4745, 46jctild 525 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))))
48 ishmeo 23783 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
4947, 48imbitrrdi 252 . 2 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)))
503, 49impbid2 226 1 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   cuni 4912  ccnv 5688  ran crn 5690  cima 5692  Rel wrel 5694  wf 6559  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Clsdccld 23040   Cn ccn 23248  Hauscha 23332  Compccmp 23410  Homeochmeo 23777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cls 23045  df-cn 23251  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-hmeo 23779
This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  24966
  Copyright terms: Public domain W3C validator