MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmphaushmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmphaushmeo 23809
Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmphaushmeo.1 𝑋 = 𝐽
cmphaushmeo.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cmphaushmeo ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))

Proof of Theorem cmphaushmeo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmphaushmeo.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 cmphaushmeo.2 . . 3 𝑌 = 𝐾
31, 2hmeof1o 23773 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
4 f1ocnv 6859 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
5 f1of 6847 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌𝑋)
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌𝑋))
8 f1orel 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Rel 𝐹)
98ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → Rel 𝐹)
10 dfrel2 6208 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
119, 10sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐹 = 𝐹)
1211imaeq1d 6076 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
13 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Haus)
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐾 ∈ Haus)
15 imassrn 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ⊆ ran 𝐹
16 f1ofo 6854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
1716ad2antll 729 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
18 forn 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → ran 𝐹 = 𝑌)
2015, 19sseqtrid 4025 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑌)
21 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
22 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Comp)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝐽 ∈ Comp)
24 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
25 cmpcld 23411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t 𝑥) ∈ Comp)
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐽t 𝑥) ∈ Comp)
27 imacmp 23406 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐽t 𝑥) ∈ Comp) → (𝐾t (𝐹𝑥)) ∈ Comp)
2821, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐾t (𝐹𝑥)) ∈ Comp)
292hauscmp 23416 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Haus ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐾t (𝐹𝑥)) ∈ Comp) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))
3014, 20, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))
3112, 30eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)) → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))
3231expr 456 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾)))
3332ralrimdva 3153 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾)))
347, 33jcad 512 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))))
35 haustop 23340 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
3613, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ Top)
372toptopon 22924 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3836, 37sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
39 cmptop 23404 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
4022, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
411toptopon 22924 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4240, 41sylib 218 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
43 iscncl 23278 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))))
4438, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ (𝐹:𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐹𝑥) ∈ (Clsd‘𝐾))))
4534, 44sylibrd 259 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
46 simp3 1138 . . . 4 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4745, 46jctild 525 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))))
48 ishmeo 23768 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
4947, 48imbitrrdi 252 . 2 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)))
503, 49impbid2 226 1 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950   cuni 4906  ccnv 5683  ran crn 5685  cima 5687  Rel wrel 5689  wf 6556  ontowfo 6558  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  t crest 17466  Topctop 22900  TopOnctopon 22917  Clsdccld 23025   Cn ccn 23233  Hauscha 23317  Compccmp 23395  Homeochmeo 23762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-2o 8508  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990  df-fi 9452  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cld 23028  df-cls 23030  df-cn 23236  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-hmeo 23764
This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  24953
  Copyright terms: Public domain W3C validator