MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnheiborlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnheiborlem 24802
Description: Lemma for cnheibor 24803. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnheibor.3 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
cnheibor.4 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
cnheibor.5 π‘Œ = (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
Assertion
Ref Expression
cnheiborlem ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑇   π‘₯,𝐽,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧)
Proof of Theorem cnheiborlem
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtop 24622 . . . 4 𝐽 ∈ Top
3 cnheibor.4 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
43cnref1o 12966 . . . . . . . . 9 𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚
5 f1ofn 6824 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐹 Fn (ℝ Γ— ℝ))
6 elpreima 7049 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (ℝ Γ— ℝ) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑋) ↔ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑋) ↔ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋))
8 1st2nd2 8007 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ 𝑒 = ⟨(1st β€˜π‘’), (2nd β€˜π‘’)⟩)
98ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 = ⟨(1st β€˜π‘’), (2nd β€˜π‘’)⟩)
10 xp1st 8000 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ ℝ)
1110ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ ℝ)
1211recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ β„‚)
1312abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
141cnfldtopon 24621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1514toponunii 22740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ = βˆͺ 𝐽
1615cldss 22855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
19 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)
2018, 19sseldd 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
2120abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ℝ)
22 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
23 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
24 f1ocnvfv1 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ ∧ 𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
254, 23, 24sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
26 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (β„œβ€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
27 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (β„‘β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’)))
2826, 27opeq12d 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ⟨(β„œβ€˜π‘§), (β„‘β€˜π‘§)⟩ = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
293cnrecnv 15109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ◑𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ⟨(β„œβ€˜π‘§), (β„‘β€˜π‘§)⟩)
30 opex 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩ ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
3325, 32eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
3433fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) = (1st β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩))
35 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ∈ V
36 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’)) ∈ V
3735, 36op1st 7976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1st β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))
3834, 37eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
3938fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))))
40 absrele 15252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
4120, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
4239, 41eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
43 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (absβ€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
4443breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ((absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ≀ 𝑅))
45 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)
4644, 45, 19rspcdva 3605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ≀ 𝑅)
4713, 21, 22, 42, 46letrd 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ≀ 𝑅)
4811, 22absled 15374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ≀ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
4947, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (-𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅))
5049simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ -𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’))
5149simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)
52 renegcl 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
5322, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
54 elicc2 13386 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((1st β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((1st β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
5553, 22, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((1st β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((1st β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
5611, 50, 51, 55mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅))
57 xp2nd 8001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ)
5857ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ)
5958recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ β„‚)
6059abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
6133fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) = (2nd β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩))
6235, 36op2nd 7977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2nd β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))
6361, 62eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6463fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))))
65 absimle 15253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6620, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6764, 66eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6860, 21, 22, 67, 46letrd 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ≀ 𝑅)
6958, 22absled 15374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ≀ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
7068, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (-𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅))
7170simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ -𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’))
7270simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)
73 elicc2 13386 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((2nd β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
7453, 22, 73syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((2nd β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
7558, 71, 72, 74mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅))
7656, 75opelxpd 5705 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (2nd β€˜π‘’)⟩ ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
779, 76eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
7877ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
797, 78biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
8079ssrdv 3980 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
81 f1ofun 6825 . . . . . . . 8 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ Fun 𝐹)
824, 81ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun 𝐹
83 f1ofo 6830 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚)
84 forn 6798 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚ β†’ ran 𝐹 = β„‚)
854, 83, 84mp2b 10 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = β„‚
8617, 85sseqtrrdi 4025 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† ran 𝐹)
87 funimass1 6620 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 βŠ† ran 𝐹) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))))
8882, 86, 87sylancr 586 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))))
8980, 88mpd 15 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
90 cnheibor.5 . . . . 5 π‘Œ = (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
9189, 90sseqtrrdi 4025 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
92 eqid 2724 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
933, 92, 1cnrehmeo 24800 . . . . . . 7 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽)
94 imaexg 7899 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) β†’ (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ V)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ V
9690, 95eqeltri 2821 . . . . 5 π‘Œ ∈ V
9796a1i 11 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ V)
98 restabs 22991 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
992, 91, 97, 98mp3an2i 1462 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
100 cnheibor.3 . . 3 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
10199, 100eqtr4di 2782 . 2 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) = 𝑇)
10290oveq2i 7412 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
103 ishmeo 23585 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) ↔ (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ ◑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))))
10493, 103mpbi 229 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ ◑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))))
105104simpli 483 . . . . . 6 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽)
106 iccssre 13403 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ)
10752, 106mpancom 685 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ)
1081, 92rerest 24642 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)))
110109, 109oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))))
111 retop 24600 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
112 ovex 7434 . . . . . . . . 9 (-𝑅[,]𝑅) ∈ V
113 txrest 23457 . . . . . . . . 9 ((((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top) ∧ ((-𝑅[,]𝑅) ∈ V ∧ (-𝑅[,]𝑅) ∈ V)) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))))
114111, 111, 112, 112, 113mp4an 690 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)))
115110, 114eqtr4di 2782 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
116 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))
11792, 116icccmp 24663 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
11852, 117mpancom 685 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
119109, 118eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
120 txcmp 23469 . . . . . . . 8 (((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp ∧ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp) β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
121119, 119, 120syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
122115, 121eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
123 imacmp 23223 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))) ∈ Comp)
124105, 122, 123sylancr 586 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))) ∈ Comp)
125102, 124eqeltrid 2829 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Comp)
126125ad2antrl 725 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Comp)
127 imassrn 6060 . . . . . 6 (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) βŠ† ran 𝐹
12890, 127eqsstri 4008 . . . . 5 π‘Œ βŠ† ran 𝐹
129 f1of 6823 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐹:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„‚)
130 frn 6714 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„‚ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
1314, 129, 130mp2b 10 . . . . 5 ran 𝐹 βŠ† β„‚
132128, 131sstri 3983 . . . 4 π‘Œ βŠ† β„‚
133 simpl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
13415restcldi 22999 . . . 4 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
135132, 133, 91, 134mp3an2i 1462 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
136 cmpcld 23228 . . 3 (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Comp ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) ∈ Comp)
137126, 135, 136syl2anc 583 . 2 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) ∈ Comp)
138101, 137eqeltrrd 2826 1 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   Γ— cxp 5664  β—‘ccnv 5665  ran crn 5667   β€œ cima 5669  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“ontoβ†’wfo 6531  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  1st c1st 7966  2nd c2nd 7967  β„‚cc 11104  β„cr 11105  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11246  -cneg 11442  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  β„œcre 15041  β„‘cim 15042  abscabs 15178   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  β„‚fldccnfld 21228  Topctop 22717  Clsdccld 22842   Cn ccn 23050  Compccmp 23212   Γ—t ctx 23386  Homeochmeo 23579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720
This theorem is referenced by:  cnheibor  24803
  Copyright terms: Public domain W3C validator