MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnheiborlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnheiborlem 24317
Description: Lemma for cnheibor 24318. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cnheibor.3 𝑇 = (𝐽t 𝑋)
cnheibor.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
cnheibor.5 𝑌 = (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))
Assertion
Ref Expression
cnheiborlem ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ Comp)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑥,𝑦,𝑧,𝑇   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cnheiborlem
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 24147 . . . 4 𝐽 ∈ Top
3 cnheibor.4 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
43cnref1o 12910 . . . . . . . . 9 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
5 f1ofn 6785 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹 Fn (ℝ × ℝ))
6 elpreima 7008 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (ℝ × ℝ) → (𝑢 ∈ (𝐹𝑋) ↔ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝐹𝑋) ↔ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋))
8 1st2nd2 7960 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) → 𝑢 = ⟨(1st𝑢), (2nd𝑢)⟩)
98ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → 𝑢 = ⟨(1st𝑢), (2nd𝑢)⟩)
10 xp1st 7953 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) → (1st𝑢) ∈ ℝ)
1110ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (1st𝑢) ∈ ℝ)
1211recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (1st𝑢) ∈ ℂ)
1312abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(1st𝑢)) ∈ ℝ)
141cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1514toponunii 22265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ = 𝐽
1615cldss 22380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑋 ⊆ ℂ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
19 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)
2018, 19sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (𝐹𝑢) ∈ ℂ)
2120abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝐹𝑢)) ∈ ℝ)
22 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ)
23 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → 𝑢 ∈ (ℝ × ℝ))
24 f1ocnvfv1 7222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ 𝑢 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘(𝐹𝑢)) = 𝑢)
254, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝐹𝑢)) = 𝑢)
26 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (𝐹𝑢) → (ℜ‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑢)))
27 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (𝐹𝑢) → (ℑ‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑢)))
2826, 27opeq12d 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (𝐹𝑢) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩)
293cnrecnv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
30 opex 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩ ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑢) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹𝑢)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩)
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝐹𝑢)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩)
3325, 32eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → 𝑢 = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩)
3433fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (1st𝑢) = (1st ‘⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩))
35 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℜ‘(𝐹𝑢)) ∈ V
36 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℑ‘(𝐹𝑢)) ∈ V
3735, 36op1st 7929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1st ‘⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩) = (ℜ‘(𝐹𝑢))
3834, 37eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (1st𝑢) = (ℜ‘(𝐹𝑢)))
3938fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(1st𝑢)) = (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑢))))
40 absrele 15193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑢) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑢))) ≤ (abs‘(𝐹𝑢)))
4120, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑢))) ≤ (abs‘(𝐹𝑢)))
4239, 41eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(1st𝑢)) ≤ (abs‘(𝐹𝑢)))
43 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝐹𝑢) → (abs‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑢)))
4443breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐹𝑢) → ((abs‘𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘(𝐹𝑢)) ≤ 𝑅))
45 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)
4644, 45, 19rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝐹𝑢)) ≤ 𝑅)
4713, 21, 22, 42, 46letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(1st𝑢)) ≤ 𝑅)
4811, 22absled 15315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → ((abs‘(1st𝑢)) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≤ (1st𝑢) ∧ (1st𝑢) ≤ 𝑅)))
4947, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (-𝑅 ≤ (1st𝑢) ∧ (1st𝑢) ≤ 𝑅))
5049simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → -𝑅 ≤ (1st𝑢))
5149simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (1st𝑢) ≤ 𝑅)
52 renegcl 11464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
5322, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → -𝑅 ∈ ℝ)
54 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((1st𝑢) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((1st𝑢) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ (1st𝑢) ∧ (1st𝑢) ≤ 𝑅)))
5553, 22, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → ((1st𝑢) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((1st𝑢) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ (1st𝑢) ∧ (1st𝑢) ≤ 𝑅)))
5611, 50, 51, 55mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (1st𝑢) ∈ (-𝑅[,]𝑅))
57 xp2nd 7954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd𝑢) ∈ ℝ)
5857ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (2nd𝑢) ∈ ℝ)
5958recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (2nd𝑢) ∈ ℂ)
6059abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(2nd𝑢)) ∈ ℝ)
6133fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (2nd𝑢) = (2nd ‘⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩))
6235, 36op2nd 7930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2nd ‘⟨(ℜ‘(𝐹𝑢)), (ℑ‘(𝐹𝑢))⟩) = (ℑ‘(𝐹𝑢))
6361, 62eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (2nd𝑢) = (ℑ‘(𝐹𝑢)))
6463fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(2nd𝑢)) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑢))))
65 absimle 15194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑢) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑢))) ≤ (abs‘(𝐹𝑢)))
6620, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑢))) ≤ (abs‘(𝐹𝑢)))
6764, 66eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(2nd𝑢)) ≤ (abs‘(𝐹𝑢)))
6860, 21, 22, 67, 46letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (abs‘(2nd𝑢)) ≤ 𝑅)
6958, 22absled 15315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → ((abs‘(2nd𝑢)) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≤ (2nd𝑢) ∧ (2nd𝑢) ≤ 𝑅)))
7068, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (-𝑅 ≤ (2nd𝑢) ∧ (2nd𝑢) ≤ 𝑅))
7170simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → -𝑅 ≤ (2nd𝑢))
7270simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (2nd𝑢) ≤ 𝑅)
73 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((2nd𝑢) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((2nd𝑢) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ (2nd𝑢) ∧ (2nd𝑢) ≤ 𝑅)))
7453, 22, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → ((2nd𝑢) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((2nd𝑢) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ (2nd𝑢) ∧ (2nd𝑢) ≤ 𝑅)))
7558, 71, 72, 74mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → (2nd𝑢) ∈ (-𝑅[,]𝑅))
7656, 75opelxpd 5671 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → ⟨(1st𝑢), (2nd𝑢)⟩ ∈ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))
779, 76eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) ∧ (𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋)) → 𝑢 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))
7877ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → ((𝑢 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ (𝐹𝑢) ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))))
797, 78biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → (𝑢 ∈ (𝐹𝑋) → 𝑢 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))))
8079ssrdv 3950 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → (𝐹𝑋) ⊆ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))
81 f1ofun 6786 . . . . . . . 8 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → Fun 𝐹)
824, 81ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun 𝐹
83 f1ofo 6791 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ)
84 forn 6759 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ → ran 𝐹 = ℂ)
854, 83, 84mp2b 10 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = ℂ
8617, 85sseqtrrdi 3995 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑋 ⊆ ran 𝐹)
87 funimass1 6583 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑋 ⊆ ran 𝐹) → ((𝐹𝑋) ⊆ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑋 ⊆ (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))))
8882, 86, 87sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → ((𝐹𝑋) ⊆ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑋 ⊆ (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))))
8980, 88mpd 15 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑋 ⊆ (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))))
90 cnheibor.5 . . . . 5 𝑌 = (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))
9189, 90sseqtrrdi 3995 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑋𝑌)
92 eqid 2736 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
933, 92, 1cnrehmeo 24316 . . . . . . 7 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽)
94 imaexg 7852 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽) → (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))) ∈ V)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))) ∈ V
9690, 95eqeltri 2834 . . . . 5 𝑌 ∈ V
9796a1i 11 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑌 ∈ V)
98 restabs 22516 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋𝑌𝑌 ∈ V) → ((𝐽t 𝑌) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
992, 91, 97, 98mp3an2i 1466 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → ((𝐽t 𝑌) ↾t 𝑋) = (𝐽t 𝑋))
100 cnheibor.3 . . 3 𝑇 = (𝐽t 𝑋)
10199, 100eqtr4di 2794 . 2 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → ((𝐽t 𝑌) ↾t 𝑋) = 𝑇)
10290oveq2i 7368 . . . . 5 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))))
103 ishmeo 23110 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽) ↔ (𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))))
10493, 103mpbi 229 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))))
105104simpli 484 . . . . . 6 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽)
106 iccssre 13346 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
10752, 106mpancom 686 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
1081, 92rerest 24167 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ → (𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)))
110109, 109oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) ×t (𝐽t (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ×t ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅))))
111 retop 24125 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
112 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (-𝑅[,]𝑅) ∈ V
113 txrest 22982 . . . . . . . . 9 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ Top) ∧ ((-𝑅[,]𝑅) ∈ V ∧ (-𝑅[,]𝑅) ∈ V)) → (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) ↾t ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ×t ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅))))
114111, 111, 112, 112, 113mp4an 691 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) ↾t ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ×t ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)))
115110, 114eqtr4di 2794 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) ×t (𝐽t (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) ↾t ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))))
116 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅))
11792, 116icccmp 24188 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
11852, 117mpancom 686 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → ((topGen‘ran (,)) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
119109, 118eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → (𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
120 txcmp 22994 . . . . . . . 8 (((𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp ∧ (𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp) → ((𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) ×t (𝐽t (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
121119, 119, 120syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝐽t (-𝑅[,]𝑅)) ×t (𝐽t (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
122115, 121eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) ↾t ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
123 imacmp 22748 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽) ∧ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) ↾t ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp) → (𝐽t (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))) ∈ Comp)
124105, 122, 123sylancr 587 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ → (𝐽t (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅)))) ∈ Comp)
125102, 124eqeltrid 2842 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ → (𝐽t 𝑌) ∈ Comp)
126125ad2antrl 726 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → (𝐽t 𝑌) ∈ Comp)
127 imassrn 6024 . . . . . 6 (𝐹 “ ((-𝑅[,]𝑅) × (-𝑅[,]𝑅))) ⊆ ran 𝐹
12890, 127eqsstri 3978 . . . . 5 𝑌 ⊆ ran 𝐹
129 f1of 6784 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹:(ℝ × ℝ)⟶ℂ)
130 frn 6675 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ × ℝ)⟶ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
1314, 129, 130mp2b 10 . . . . 5 ran 𝐹 ⊆ ℂ
132128, 131sstri 3953 . . . 4 𝑌 ⊆ ℂ
133 simpl 483 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
13415restcldi 22524 . . . 4 ((𝑌 ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑌)))
135132, 133, 91, 134mp3an2i 1466 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑋 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑌)))
136 cmpcld 22753 . . 3 (((𝐽t 𝑌) ∈ Comp ∧ 𝑋 ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝑌))) → ((𝐽t 𝑌) ↾t 𝑋) ∈ Comp)
137126, 135, 136syl2anc 584 . 2 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → ((𝐽t 𝑌) ↾t 𝑋) ∈ Comp)
138101, 137eqeltrrd 2839 1 ((𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 (abs‘𝑧) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  cop 4592   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  cc 11049  cr 11050  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  -cneg 11386  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cre 14982  cim 14983  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  Clsdccld 22367   Cn ccn 22575  Compccmp 22737   ×t ctx 22911  Homeochmeo 23104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241
This theorem is referenced by:  cnheibor  24318
  Copyright terms: Public domain W3C validator