MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnheiborlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnheiborlem 24462
Description: Lemma for cnheibor 24463. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cnheibor.3 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
cnheibor.4 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
cnheibor.5 π‘Œ = (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
Assertion
Ref Expression
cnheiborlem ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   π‘₯,𝑦,𝑧,𝑇   π‘₯,𝐽,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧)
Proof of Theorem cnheiborlem
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtop 24292 . . . 4 𝐽 ∈ Top
3 cnheibor.4 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
43cnref1o 12966 . . . . . . . . 9 𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚
5 f1ofn 6832 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐹 Fn (ℝ Γ— ℝ))
6 elpreima 7057 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (ℝ Γ— ℝ) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑋) ↔ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑋) ↔ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋))
8 1st2nd2 8011 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ 𝑒 = ⟨(1st β€˜π‘’), (2nd β€˜π‘’)⟩)
98ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 = ⟨(1st β€˜π‘’), (2nd β€˜π‘’)⟩)
10 xp1st 8004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ ℝ)
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ ℝ)
1211recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ β„‚)
1312abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
141cnfldtopon 24291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1514toponunii 22410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„‚ = βˆͺ 𝐽
1615cldss 22525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
19 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)
2018, 19sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
2120abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ∈ ℝ)
22 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
23 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
24 f1ocnvfv1 7271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ ∧ 𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
254, 23, 24sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = 𝑒)
26 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (β„œβ€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
27 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (β„‘β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’)))
2826, 27opeq12d 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ⟨(β„œβ€˜π‘§), (β„‘β€˜π‘§)⟩ = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
293cnrecnv 15109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ◑𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ⟨(β„œβ€˜π‘§), (β„‘β€˜π‘§)⟩)
30 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩ ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
3325, 32eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩)
3433fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) = (1st β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩))
35 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ∈ V
36 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’)) ∈ V
3735, 36op1st 7980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1st β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))
3834, 37eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
3938fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))))
40 absrele 15252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
4120, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
4239, 41eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
43 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ (absβ€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
4443breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘’) β†’ ((absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ≀ 𝑅))
45 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)
4644, 45, 19rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)) ≀ 𝑅)
4713, 21, 22, 42, 46letrd 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ≀ 𝑅)
4811, 22absled 15374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜(1st β€˜π‘’)) ≀ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
4947, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (-𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅))
5049simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ -𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’))
5149simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)
52 renegcl 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
5322, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
54 elicc2 13386 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((1st β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((1st β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
5553, 22, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((1st β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((1st β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (1st β€˜π‘’) ∧ (1st β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
5611, 50, 51, 55mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅))
57 xp2nd 8005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ)
5857ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ)
5958recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ β„‚)
6059abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
6133fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) = (2nd β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩))
6235, 36op2nd 7981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2nd β€˜βŸ¨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘’)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))⟩) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))
6361, 62eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6463fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))))
65 absimle 15253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘’) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6620, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘’))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6764, 66eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘’)))
6860, 21, 22, 67, 46letrd 11368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ≀ 𝑅)
6958, 22absled 15374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜(2nd β€˜π‘’)) ≀ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
7068, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (-𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅))
7170simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ -𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’))
7270simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)
73 elicc2 13386 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((2nd β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
7453, 22, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ((2nd β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ ((2nd β€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ (2nd β€˜π‘’) ∧ (2nd β€˜π‘’) ≀ 𝑅)))
7558, 71, 72, 74mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ (-𝑅[,]𝑅))
7656, 75opelxpd 5714 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ ⟨(1st β€˜π‘’), (2nd β€˜π‘’)⟩ ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
779, 76eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) ∧ (𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)) β†’ 𝑒 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
7877ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝑒 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
797, 78biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ (𝑒 ∈ (◑𝐹 β€œ 𝑋) β†’ 𝑒 ∈ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
8079ssrdv 3988 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
81 f1ofun 6833 . . . . . . . 8 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ Fun 𝐹)
824, 81ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun 𝐹
83 f1ofo 6838 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚)
84 forn 6806 . . . . . . . . 9 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚ β†’ ran 𝐹 = β„‚)
854, 83, 84mp2b 10 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = β„‚
8617, 85sseqtrrdi 4033 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† ran 𝐹)
87 funimass1 6628 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 βŠ† ran 𝐹) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))))
8882, 86, 87sylancr 588 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))))
8980, 88mpd 15 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
90 cnheibor.5 . . . . 5 π‘Œ = (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))
9189, 90sseqtrrdi 4033 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 βŠ† π‘Œ)
92 eqid 2733 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
933, 92, 1cnrehmeo 24461 . . . . . . 7 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽)
94 imaexg 7903 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) β†’ (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ V)
9593, 94ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ V
9690, 95eqeltri 2830 . . . . 5 π‘Œ ∈ V
9796a1i 11 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ V)
98 restabs 22661 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
992, 91, 97, 98mp3an2i 1467 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) = (𝐽 β†Ύt 𝑋))
100 cnheibor.3 . . 3 𝑇 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
10199, 100eqtr4di 2791 . 2 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) = 𝑇)
10290oveq2i 7417 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
103 ishmeo 23255 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) ↔ (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ ◑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))))
10493, 103mpbi 229 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ ◑𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))))
105104simpli 485 . . . . . 6 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽)
106 iccssre 13403 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ)
10752, 106mpancom 687 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ)
1081, 92rerest 24312 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)))
110109, 109oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))))
111 retop 24270 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
112 ovex 7439 . . . . . . . . 9 (-𝑅[,]𝑅) ∈ V
113 txrest 23127 . . . . . . . . 9 ((((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top) ∧ ((-𝑅[,]𝑅) ∈ V ∧ (-𝑅[,]𝑅) ∈ V)) β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))))
114111, 111, 112, 112, 113mp4an 692 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)))
115110, 114eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) = (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))))
116 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))
11792, 116icccmp 24333 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
11852, 117mpancom 687 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
119109, 118eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp)
120 txcmp 23139 . . . . . . . 8 (((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp ∧ (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ Comp) β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
121119, 119, 120syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Γ—t (𝐽 β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
122115, 121eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp)
123 imacmp 22893 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) β†Ύt ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))) ∈ Comp)
124105, 122, 123sylancr 588 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅)))) ∈ Comp)
125102, 124eqeltrid 2838 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Comp)
126125ad2antrl 727 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Comp)
127 imassrn 6069 . . . . . 6 (𝐹 β€œ ((-𝑅[,]𝑅) Γ— (-𝑅[,]𝑅))) βŠ† ran 𝐹
12890, 127eqsstri 4016 . . . . 5 π‘Œ βŠ† ran 𝐹
129 f1of 6831 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐹:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„‚)
130 frn 6722 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ Γ— ℝ)βŸΆβ„‚ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
1314, 129, 130mp2b 10 . . . . 5 ran 𝐹 βŠ† β„‚
132128, 131sstri 3991 . . . 4 π‘Œ βŠ† β„‚
133 simpl 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½))
13415restcldi 22669 . . . 4 ((π‘Œ βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ 𝑋 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
135132, 133, 91, 134mp3an2i 1467 . . 3 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
136 cmpcld 22898 . . 3 (((𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ Comp ∧ 𝑋 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt π‘Œ))) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) ∈ Comp)
137126, 135, 136syl2anc 585 . 2 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt 𝑋) ∈ Comp)
138101, 137eqeltrrd 2835 1 ((𝑋 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (absβ€˜π‘§) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€“ontoβ†’wfo 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1st c1st 7970  2nd c2nd 7971  β„‚cc 11105  β„cr 11106  ici 11109   + caddc 11110   Β· cmul 11112   ≀ cle 11246  -cneg 11442  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  β„œcre 15041  β„‘cim 15042  abscabs 15178   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  topGenctg 17380  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  Clsdccld 22512   Cn ccn 22720  Compccmp 22882   Γ—t ctx 23056  Homeochmeo 23249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386
This theorem is referenced by:  cnheibor  24463
  Copyright terms: Public domain W3C validator