Theorem cnrehmeo 25274

Description: The canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ described in cnref1o 13113 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if (ℝ × ℝ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 11280. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
cnrehmeo.2	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
cnrehmeo.3	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeo	⊢ 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cnrehmeo

Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retopon 25082	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
4	2, 3	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
6		cnrehmeo.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtop 25102	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Top
8		cnrest2r 23605	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
9	7, 8	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
10	5, 5	cnmpt1st 23987	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
11	6	tgioo2 25122	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
12	2, 11	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t ℝ)
13	12	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ))
14	10, 13	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)))
15	9, 14	sseldd 3909	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
16	6	cnfldtopon 25101	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
18		ax-icn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 23989	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ i) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
21	5, 5	cnmpt2nd 23988	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
22	21, 13	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)))
23	9, 22	sseldd 3909	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
24	6	mpomulcn 25188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
26		oveq12 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 = i ∧ 𝑣 = 𝑦) → (𝑢 · 𝑣) = (i · 𝑦))
27	5, 5, 20, 23, 17, 17, 25, 26	cnmpt22 23993	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (i · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
28	6	addcn 25185	. . . . . 6 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
30	5, 5, 15, 27, 29	cnmpt22f 23994	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
31	1, 30	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
32	1	cnrecnv 15332	. . . 4 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
33		ref 15279	. . . . . . . 8 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℜ:ℂ⟶ℝ)
35	34	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℜ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)))
36		recncf 25223	. . . . . . 7 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
37		ssid 3930	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
38		ax-resscn 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39	16	toponrestid 23239	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (𝐾 ↾t ℂ)
40	6, 39, 12	cncfcn 25231	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽))
41	37, 38, 40	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽)
42	36, 41	eleqtri 2858	. . . . . 6 ⊢ ℜ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
43	35, 42	eqeltrrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
44		imf 15280	. . . . . . . 8 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℑ:ℂ⟶ℝ)
46	45	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℑ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)))
47		imcncf 25224	. . . . . . 7 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
48	47, 41	eleqtri 2858	. . . . . 6 ⊢ ℑ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
49	46, 48	eqeltrrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
50	17, 43, 49	cnmpt1t 23984	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
51	32, 50	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
52		ishmeo 24078	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽))))
53	31, 51, 52	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾))
54	53	mptru 1576	1 ⊢ 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11198  ℝcr 11199  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205  (,)cioo 13476  ℜcre 15264  ℑcim 15265   ↾_t crest 17591  TopOpenctopn 17592  topGenctg 17608  ℂ_fldccnfld 21678  Topctop 23211  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542   ×_t ctx 23879  Homeochmeo 24072  –cn→ccncf 25197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199

This theorem is used by:  cnheiborlem  25275  mbfimaopnlem  25976  tpr2rico  34544