Theorem cnrehmeo 25182

Description: The canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ described in cnref1o 13037 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if (ℝ × ℝ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 11207. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrehmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
cnrehmeo.2	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
cnrehmeo.3	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnrehmeo	⊢ 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cnrehmeo

Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrehmeo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		cnrehmeo.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retopon 24990	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
4	2, 3	eqeltri 2858	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
6		cnrehmeo.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtop 25010	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Top
8		cnrest2r 23513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
9	7, 8	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
10	5, 5	cnmpt1st 23895	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
11	6	tgioo2 25030	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐾 ↾t ℝ)
12	2, 11	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t ℝ)
13	12	oveq2i 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ))
14	10, 13	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)))
15	9, 14	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
16	6	cnfldtopon 25009	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
18		ax-icn 11186	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
20	5, 5, 17, 19	cnmpt2c 23897	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ i) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
21	5, 5	cnmpt2nd 23896	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
22	21, 13	eleqtrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾 ↾t ℝ)))
23	9, 22	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
24	6	mpomulcn 25096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
26		oveq12 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 = i ∧ 𝑣 = 𝑦) → (𝑢 · 𝑣) = (i · 𝑦))
27	5, 5, 20, 23, 17, 17, 25, 26	cnmpt22 23901	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (i · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
28	6	addcn 25093	. . . . . 6 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
30	5, 5, 15, 27, 29	cnmpt22f 23902	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
31	1, 30	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
32	1	cnrecnv 15254	. . . 4 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
33		ref 15201	. . . . . . . 8 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℜ:ℂ⟶ℝ)
35	34	feqmptd 6950	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℜ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)))
36		recncf 25131	. . . . . . 7 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
37		ssid 3956	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
38		ax-resscn 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39	16	toponrestid 23147	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (𝐾 ↾t ℂ)
40	6, 39, 12	cncfcn 25139	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽))
41	37, 38, 40	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽)
42	36, 41	eleqtri 2860	. . . . . 6 ⊢ ℜ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
43	35, 42	eqeltrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
44		imf 15202	. . . . . . . 8 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℑ:ℂ⟶ℝ)
46	45	feqmptd 6950	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℑ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)))
47		imcncf 25132	. . . . . . 7 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
48	47, 41	eleqtri 2860	. . . . . 6 ⊢ ℑ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
49	46, 48	eqeltrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
50	17, 43, 49	cnmpt1t 23892	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
51	32, 50	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
52		ishmeo 23986	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽))))
53	31, 51, 52	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾))
54	53	mptru 1577	1 ⊢ 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ⟨cop 4593   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℂcc 11125  ℝcr 11126  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132  (,)cioo 13400  ℜcre 15186  ℑcim 15187   ↾_t crest 17509  TopOpenctopn 17510  topGenctg 17526  ℂ_fldccnfld 21586  Topctop 23119  TopOnctopon 23136   Cn ccn 23450   ×_t ctx 23787  Homeochmeo 23980  –cn→ccncf 25105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107

This theorem is used by:  cnheiborlem  25183  mbfimaopnlem  25884  tpr2rico  34409