Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrehmeo 23556
 Description: The canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ described in cnref1o 12372 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if (ℝ × ℝ) is metrized with the l2 norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
cnrehmeo.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
cnrehmeo.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrehmeo
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retopon 23367 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
42, 3eqeltri 2910 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
54a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldtop 23387 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
8 cnrest2r 21890 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
97, 8mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
105, 5cnmpt1st 22271 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
116tgioo2 23406 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
122, 11eqtri 2845 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t ℝ)
1312oveq2i 7151 . . . . . . 7 ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ))
1410, 13eleqtrdi 2924 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
159, 14sseldd 3943 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
166cnfldtopon 23386 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
18 ax-icn 10585 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → i ∈ ℂ)
205, 5, 17, 19cnmpt2c 22273 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ i) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
215, 5cnmpt2nd 22272 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2221, 13eleqtrdi 2924 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
239, 22sseldd 3943 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
246mulcn 23470 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2524a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 22278 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (i · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
276addcn 23468 . . . . . 6 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2827a1i 11 . . . . 5 (⊤ → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 22278 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
301, 29eqeltrid 2918 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
311cnrecnv 14515 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
32 ref 14462 . . . . . . . 8 ℜ:ℂ⟶ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℜ:ℂ⟶ℝ)
3433feqmptd 6715 . . . . . 6 (⊤ → ℜ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)))
35 recncf 23505 . . . . . . 7 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
36 ssid 3964 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
37 ax-resscn 10583 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3816toponrestid 21524 . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝐾t ℂ)
396, 38, 12cncfcn 23513 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽))
4036, 37, 39mp2an 691 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽)
4135, 40eleqtri 2912 . . . . . 6 ℜ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
4234, 41eqeltrrdi 2923 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
43 imf 14463 . . . . . . . 8 ℑ:ℂ⟶ℝ
4443a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4544feqmptd 6715 . . . . . 6 (⊤ → ℑ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)))
46 imcncf 23506 . . . . . . 7 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4746, 40eleqtri 2912 . . . . . 6 ℑ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
4845, 47eqeltrrdi 2923 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
4917, 42, 48cnmpt1t 22268 . . . 4 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
5031, 49eqeltrid 2918 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
51 ishmeo 22362 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽))))
5230, 50, 51sylanbrc 586 . 2 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾))
5352mptru 1545 1 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908  ⟨cop 4545   ↦ cmpt 5122  ◡ccnv 5531  ran crn 5533  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  ℂcc 10524  ℝcr 10525  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  (,)cioo 12726  ℜcre 14447  ℑcim 14448   ↾t crest 16685  TopOpenctopn 16686  topGenctg 16702  ℂfldccnfld 20089  Topctop 21496  TopOnctopon 21513   Cn ccn 21827   ×t ctx 22163  Homeochmeo 22356  –cn→ccncf 23479 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481 This theorem is referenced by:  cnheiborlem  23557  mbfimaopnlem  24257  tpr2rico  31229
 Copyright terms: Public domain W3C validator