MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrehmeo 24300
Description: The canonical bijection from (ℝ × ℝ) to described in cnref1o 12902 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if (ℝ × ℝ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
cnrehmeo.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
cnrehmeo.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrehmeo
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retopon 24111 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
42, 3eqeltri 2834 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
54a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldtop 24131 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
8 cnrest2r 22622 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
97, 8mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
105, 5cnmpt1st 23003 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
116tgioo2 24150 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
122, 11eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t ℝ)
1312oveq2i 7364 . . . . . . 7 ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ))
1410, 13eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
159, 14sseldd 3943 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
166cnfldtopon 24130 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
18 ax-icn 11106 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → i ∈ ℂ)
205, 5, 17, 19cnmpt2c 23005 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ i) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
215, 5cnmpt2nd 23004 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2221, 13eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
239, 22sseldd 3943 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
246mulcn 24214 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2524a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 23010 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (i · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
276addcn 24212 . . . . . 6 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2827a1i 11 . . . . 5 (⊤ → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 23010 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
301, 29eqeltrid 2842 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
311cnrecnv 15042 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
32 ref 14989 . . . . . . . 8 ℜ:ℂ⟶ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℜ:ℂ⟶ℝ)
3433feqmptd 6907 . . . . . 6 (⊤ → ℜ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)))
35 recncf 24249 . . . . . . 7 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
36 ssid 3964 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
37 ax-resscn 11104 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3816toponrestid 22254 . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝐾t ℂ)
396, 38, 12cncfcn 24257 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽))
4036, 37, 39mp2an 690 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽)
4135, 40eleqtri 2836 . . . . . 6 ℜ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
4234, 41eqeltrrdi 2847 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
43 imf 14990 . . . . . . . 8 ℑ:ℂ⟶ℝ
4443a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4544feqmptd 6907 . . . . . 6 (⊤ → ℑ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)))
46 imcncf 24250 . . . . . . 7 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4746, 40eleqtri 2836 . . . . . 6 ℑ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
4845, 47eqeltrrdi 2847 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
4917, 42, 48cnmpt1t 23000 . . . 4 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
5031, 49eqeltrid 2842 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
51 ishmeo 23094 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽))))
5230, 50, 51sylanbrc 583 . 2 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾))
5352mptru 1548 1 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wss 3908  cop 4590  cmpt 5186  ccnv 5630  ran crn 5632  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  cmpo 7355  cc 11045  cr 11046  ici 11049   + caddc 11050   · cmul 11052  (,)cioo 13256  cre 14974  cim 14975  t crest 17294  TopOpenctopn 17295  topGenctg 17311  fldccnfld 20781  Topctop 22226  TopOnctopon 22243   Cn ccn 22559   ×t ctx 22895  Homeochmeo 23088  cnccncf 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  24301  mbfimaopnlem  25003  tpr2rico  32362
  Copyright terms: Public domain W3C validator