Users' Mathboxes Mathbox for Gino Giotto < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gg-icchmeo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gg-icchmeo 35159
Description: The natural bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐡] is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.) Avoid ax-mulf 11187. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gg-icchmeo.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
gg-icchmeo.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
gg-icchmeo ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem gg-icchmeo
Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gg-icchmeo.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)))
2 iitopon 24387 . . . . . 6 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
4 gg-icchmeo.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54dfii3 24391 . . . . . . . . . 10 II = (𝐽 β†Ύt (0[,]1))
65eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (𝐽 β†Ύt (0[,]1)) = II
76oveq2i 7417 . . . . . . . 8 (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))) = (II Cn II)
84cnfldtop 24292 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
9 cnrest2r 22783 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))) βŠ† (II Cn 𝐽))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))) βŠ† (II Cn 𝐽)
117, 10eqsstrri 4017 . . . . . . 7 (II Cn II) βŠ† (II Cn 𝐽)
123cnmptid 23157 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
1311, 12sselid 3980 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn 𝐽))
144cnfldtopon 24291 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1514a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
16 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1716recnd 11239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
183, 15, 17cnmptc 23158 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 𝐡) ∈ (II Cn 𝐽))
194mpomulcn 35151 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
21 oveq12 7415 . . . . . 6 ((𝑒 = π‘₯ ∧ 𝑣 = 𝐡) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (π‘₯ Β· 𝐡))
223, 13, 18, 15, 15, 20, 21cnmpt12 23163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝐡)) ∈ (II Cn 𝐽))
23 1cnd 11206 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 1 ∈ β„‚)
243, 15, 23cnmptc 23158 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ (II Cn 𝐽))
254subcn 24374 . . . . . . . 8 βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
273, 24, 13, 26cnmpt12f 23162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ π‘₯)) ∈ (II Cn 𝐽))
28 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2928recnd 11239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
303, 15, 29cnmptc 23158 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ (II Cn 𝐽))
31 oveq12 7415 . . . . . 6 ((𝑒 = (1 βˆ’ π‘₯) ∧ 𝑣 = 𝐴) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴))
323, 27, 30, 15, 15, 20, 31cnmpt12 23163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)) ∈ (II Cn 𝐽))
334addcn 24373 . . . . . 6 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
3433a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
353, 22, 32, 34cnmpt12f 23162 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴))) ∈ (II Cn 𝐽))
361, 35eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
371iccf1o 13470 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
3837simpld 496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡))
39 f1of 6831 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(𝐴[,]𝐡))
40 frn 6722 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)⟢(𝐴[,]𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
4138, 39, 403syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
42 iccssre 13403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
43423adant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
44 ax-resscn 11164 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
4543, 44sstrdi 3994 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
46 cnrest2 22782 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))))
4714, 41, 45, 46mp3an2i 1467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))))
4836, 47mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
4937simprd 497 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
50 resttopon 22657 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
5114, 45, 50sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
52 cnrest2r 22783 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
538, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽)
5451cnmptid 23157 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
5553, 54sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
5651, 15, 29cnmptc 23158 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
5751, 55, 56, 26cnmpt12f 23162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
58 difrp 13009 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
5958biimp3a 1470 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 13015 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
6159rpne0d 13018 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0)
624gg-divccn 35154 . . . . . . 7 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6360, 61, 62syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
64 oveq1 7413 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 𝐴) β†’ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
6551, 57, 15, 63, 64cnmpt11 23159 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
6649, 65eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
67 dfdm4 5894 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran ◑𝐹
6867eqimss2i 4043 . . . . . 6 ran ◑𝐹 βŠ† dom 𝐹
69 f1odm 6835 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) β†’ dom 𝐹 = (0[,]1))
7038, 69syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ dom 𝐹 = (0[,]1))
7168, 70sseqtrid 4034 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ran ◑𝐹 βŠ† (0[,]1))
72 unitssre 13473 . . . . . . 7 (0[,]1) βŠ† ℝ
7372a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (0[,]1) βŠ† ℝ)
7473, 44sstrdi 3994 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (0[,]1) βŠ† β„‚)
75 cnrest2 22782 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran ◑𝐹 βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))))
7614, 71, 74, 75mp3an2i 1467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))))
7766, 76mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))))
785oveq2i 7417 . . 3 ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II) = ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))
7977, 78eleqtrrdi 2845 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II))
80 ishmeo 23255 . 2 (𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II)))
8148, 79, 80sylanbrc 584 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112   < clt 11245   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„+crp 12971  [,]cicc 13324   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720   Γ—t ctx 23056  Homeochmeo 23249  IIcii 24383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-ii 24385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator