Theorem colmid 29094

Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
colmid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colmid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
colmid.c	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colmid	⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorr 994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		colmid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		colmid.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
12		colmid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		colmid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		colmid.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
17	16	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
18	17	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐵) = (𝑋 − 𝐴))
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	2, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19	tgbtwncom 28885	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20	ismir 29065	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
22	21	orcd 887	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
23	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	9	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
28	2, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27	tgbtwncom 28885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
29	2, 3, 4, 23, 25, 26	tgbtwntriv1 28888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
30	2, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16	tgcgrcomlr 28876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
32	31	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
33		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
34	2, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33	tgcgrsub 28906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
35	2, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34	axtgcgrid 28859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
36	35	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	olcd 888	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
39	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
42	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
44	2, 3, 4, 39, 41, 42	tgbtwntriv1 28888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
45	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
46		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
47	2, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46	tgcgrsub 28906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
48	2, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47	axtgcgrid 28859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
49	48	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
50	49	olcd 888	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
51		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
52		colmid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
53	52	orcomd 885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
54	53	orcanai 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
55	51, 54	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
56	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
58	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
59		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
60	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑃)
61	2, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60	tgellng 28950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
62	55, 61	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
63	22, 38, 50, 62	mpjao3dan 1459	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
64	1, 63	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  distcds 17399  TarskiGcstrkg 28823  Itvcitv 28829  LineGclng 28830  pInvGcmir 29058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-hash 14443  df-trkgc 28844  df-trkgb 28845  df-trkgcb 28846  df-trkg 28849  df-mir 29059

This theorem is used by:  symquadlem  29095  midexlem  29098