MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colmid 27630
Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
colmid.a (𝜑𝐴𝑃)
colmid.b (𝜑𝐵𝑃)
colmid.x (𝜑𝑋𝑃)
colmid.c (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
Assertion
Ref Expression
colmid (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid
StepHypRef Expression
1 animorr 977 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
4 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 colmid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
11 colmid.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝑋)
12 colmid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
1312ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
14 colmid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1514ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
16 colmid.d . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1716ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1817eqcomd 2742 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐵) = (𝑋 𝐴))
19 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
202, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19tgbtwncom 27430 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20ismir 27601 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
2221orcd 871 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
237adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2414adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
2512adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
269adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
27 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
282, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27tgbtwncom 27430 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
292, 3, 4, 23, 25, 26tgbtwntriv1 27433 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
302, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16tgcgrcomlr 27422 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3231eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝑋) = (𝐴 𝑋))
33 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 𝑋))
342, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33tgcgrsub 27451 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐴))
352, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34axtgcgrid 27405 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
3635eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3736adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3837olcd 872 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
397adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4012adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵𝑃)
429adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
43 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
442, 3, 4, 39, 41, 42tgbtwntriv1 27433 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
4530adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
46 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 𝑋) = (𝐵 𝑋))
472, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46tgcgrsub 27451 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
482, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47axtgcgrid 27405 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
4948adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
5049olcd 872 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
51 df-ne 2944 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
52 colmid.c . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5352orcomd 869 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5453orcanai 1001 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5551, 54sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
567adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5712adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
5814adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
59 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
609adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋𝑃)
612, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60tgellng 27495 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
6255, 61mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
6322, 38, 50, 62mpjao3dan 1431 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
641, 63pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  pInvGcmir 27594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkg 27395  df-mir 27595
This theorem is referenced by:  symquadlem  27631  midexlem  27634
  Copyright terms: Public domain W3C validator