Theorem colmid 28772

Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
colmid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colmid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
colmid.c	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colmid	⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorr 981	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		colmid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		colmid.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
12		colmid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		colmid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		colmid.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
17	16	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
18	17	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐵) = (𝑋 − 𝐴))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	2, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19	tgbtwncom 28572	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20	ismir 28743	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
22	21	orcd 874	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
23	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
28	2, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27	tgbtwncom 28572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
29	2, 3, 4, 23, 25, 26	tgbtwntriv1 28575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
30	2, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16	tgcgrcomlr 28564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
32	31	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
33		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
34	2, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33	tgcgrsub 28593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
35	2, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34	axtgcgrid 28547	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
36	35	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	olcd 875	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
39	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
42	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
44	2, 3, 4, 39, 41, 42	tgbtwntriv1 28575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
45	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
46		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
47	2, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46	tgcgrsub 28593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
48	2, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47	axtgcgrid 28547	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
49	48	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
50	49	olcd 875	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
51		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
52		colmid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
53	52	orcomd 872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
54	53	orcanai 1005	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
55	51, 54	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
56	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
58	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
59		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
60	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑃)
61	2, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60	tgellng 28637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
62	55, 61	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
63	22, 38, 50, 62	mpjao3dan 1435	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
64	1, 63	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  LineGclng 28518  pInvGcmir 28736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-mir 28737

This theorem is referenced by:  symquadlem  28773  midexlem  28776