MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colmid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem colmid 27919
Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m 𝑀 = (π‘†β€˜π‘‹)
colmid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
colmid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
colmid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
colmid.c (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
colmid.d (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
colmid (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Proof of Theorem colmid
StepHypRef Expression
1 animorr 978 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
2 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 mirval.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
7 mirval.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
9 colmid.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
109ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
11 colmid.m . . . . 5 𝑀 = (π‘†β€˜π‘‹)
12 colmid.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1312ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
14 colmid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1514ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
16 colmid.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
1716ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
1817eqcomd 2739 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐡) = (𝑋 βˆ’ 𝐴))
19 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
202, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19tgbtwncom 27719 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20ismir 27890 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 = (π‘€β€˜π΄))
2221orcd 872 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
237adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2414adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2512adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
269adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
27 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡))
282, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27tgbtwncom 27719 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝑋))
292, 3, 4, 23, 25, 26tgbtwntriv1 27722 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
302, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16tgcgrcomlr 27711 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
3231eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
33 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
342, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33tgcgrsub 27740 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐴 βˆ’ 𝐴))
352, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34axtgcgrid 27694 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 = 𝐴)
3635eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
3736adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
3837olcd 873 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
397adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4012adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4114adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
429adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
43 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
442, 3, 4, 39, 41, 42tgbtwntriv1 27722 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡𝐼𝑋))
4530adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
46 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
472, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46tgcgrsub 27740 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
482, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47axtgcgrid 27694 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
4948adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
5049olcd 873 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
51 df-ne 2942 . . . . 5 (𝐴 β‰  𝐡 ↔ Β¬ 𝐴 = 𝐡)
52 colmid.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
5352orcomd 870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
5453orcanai 1002 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
5551, 54sylan2b 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
567adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5712adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5814adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
59 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
609adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
612, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60tgellng 27784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
6255, 61mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
6322, 38, 50, 62mpjao3dan 1432 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
641, 63pm2.61dane 3030 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664  LineGclng 27665  pInvGcmir 27883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684  df-mir 27884
This theorem is referenced by:  symquadlem  27920  midexlem  27923
  Copyright terms: Public domain W3C validator