MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colmid 28696
Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
colmid.a (𝜑𝐴𝑃)
colmid.b (𝜑𝐵𝑃)
colmid.x (𝜑𝑋𝑃)
colmid.c (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
Assertion
Ref Expression
colmid (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid
StepHypRef Expression
1 animorr 981 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
4 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 colmid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
109ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
11 colmid.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝑋)
12 colmid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
1312ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
14 colmid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1514ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
16 colmid.d . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1716ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1817eqcomd 2743 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐵) = (𝑋 𝐴))
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
202, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19tgbtwncom 28496 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20ismir 28667 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
2221orcd 874 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
237adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2414adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
2512adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
269adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
27 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
282, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27tgbtwncom 28496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
292, 3, 4, 23, 25, 26tgbtwntriv1 28499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
302, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3231eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝑋) = (𝐴 𝑋))
33 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 𝑋))
342, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33tgcgrsub 28517 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐴))
352, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34axtgcgrid 28471 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
3635eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3736adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3837olcd 875 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
397adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4012adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4114adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵𝑃)
429adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
43 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
442, 3, 4, 39, 41, 42tgbtwntriv1 28499 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
4530adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
46 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 𝑋) = (𝐵 𝑋))
472, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46tgcgrsub 28517 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
482, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47axtgcgrid 28471 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
4948adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
5049olcd 875 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
51 df-ne 2941 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
52 colmid.c . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5352orcomd 872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5453orcanai 1005 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5551, 54sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
567adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5712adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
5814adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
59 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
609adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋𝑃)
612, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60tgellng 28561 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
6255, 61mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
6322, 38, 50, 62mpjao3dan 1434 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
641, 63pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848  w3o 1086   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  pInvGcmir 28660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-mir 28661
This theorem is referenced by:  symquadlem  28697  midexlem  28700
  Copyright terms: Public domain W3C validator