Theorem colmid 28919

Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
colmid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colmid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
colmid.c	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colmid	⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorr 994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		colmid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		colmid.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
12		colmid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		colmid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		colmid.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
17	16	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
18	17	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐵) = (𝑋 − 𝐴))
19		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	2, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19	tgbtwncom 28715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20	ismir 28890	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
22	21	orcd 886	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
23	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
28	2, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27	tgbtwncom 28715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
29	2, 3, 4, 23, 25, 26	tgbtwntriv1 28718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
30	2, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16	tgcgrcomlr 28707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
31	30	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
32	31	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
33		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
34	2, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33	tgcgrsub 28736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
35	2, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34	axtgcgrid 28690	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
36	35	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	olcd 887	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
39	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
42	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
44	2, 3, 4, 39, 41, 42	tgbtwntriv1 28718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
45	30	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
46		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
47	2, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46	tgcgrsub 28736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
48	2, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47	axtgcgrid 28690	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
49	48	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
50	49	olcd 887	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
51		df-ne 2961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
52		colmid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
53	52	orcomd 884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
54	53	orcanai 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
55	51, 54	sylan2b 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
56	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
58	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
59		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
60	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑃)
61	2, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60	tgellng 28780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
62	55, 61	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
63	22, 38, 50, 62	mpjao3dan 1455	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
64	1, 63	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  distcds 17309  TarskiGcstrkg 28654  Itvcitv 28660  LineGclng 28661  pInvGcmir 28883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-hash 14358  df-trkgc 28675  df-trkgb 28676  df-trkgcb 28677  df-trkg 28680  df-mir 28884

This theorem is referenced by:  symquadlem  28920  midexlem  28923