Theorem colmid 28827

Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
colmid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
colmid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
colmid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
colmid.c	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
colmid	⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		animorr 989	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		colmid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		colmid.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
12		colmid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		colmid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		colmid.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
17	16	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
18	17	eqcomd 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 − 𝐵) = (𝑋 − 𝐴))
19		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
20	2, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19	tgbtwncom 28627	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20	ismir 28798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀‘𝐴))
22	21	orcd 882	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
23	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	14	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	12	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	9	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
28	2, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27	tgbtwncom 28627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
29	2, 3, 4, 23, 25, 26	tgbtwntriv1 28630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
30	2, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16	tgcgrcomlr 28619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
31	30	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
32	31	eqcomd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
33		eqidd 2757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐴 − 𝑋))
34	2, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33	tgcgrsub 28648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
35	2, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34	axtgcgrid 28602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
36	35	eqcomd 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	olcd 883	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
39	7	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	12	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	14	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
42	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
44	2, 3, 4, 39, 41, 42	tgbtwntriv1 28630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
45	30	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
46		eqidd 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 − 𝑋) = (𝐵 − 𝑋))
47	2, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46	tgcgrsub 28648	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
48	2, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47	axtgcgrid 28602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
49	48	adantlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
50	49	olcd 883	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
51		df-ne 2952	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
52		colmid.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
53	52	orcomd 880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
54	53	orcanai 1013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
55	51, 54	sylan2b 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
56	7	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57	12	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
58	14	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
59		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
60	9	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑃)
61	2, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60	tgellng 28692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
62	55, 61	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
63	22, 38, 50, 62	mpjao3dan 1447	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
64	1, 63	pm2.61dane 3038	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (𝑀‘𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∨ w3o 1094   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  distcds 17271  TarskiGcstrkg 28566  Itvcitv 28572  LineGclng 28573  pInvGcmir 28791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-oadd 8429  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-hash 14334  df-trkgc 28587  df-trkgb 28588  df-trkgcb 28589  df-trkg 28592  df-mir 28792

This theorem is referenced by:  symquadlem  28828  midexlem  28831