MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colmid 25939
Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
colmid.a (𝜑𝐴𝑃)
colmid.b (𝜑𝐵𝑃)
colmid.x (𝜑𝑋𝑃)
colmid.c (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
Assertion
Ref Expression
colmid (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid
StepHypRef Expression
1 simpr 478 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
21olcd 901 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
3 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 colmid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1110ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
12 colmid.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝑋)
13 colmid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
1413ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
15 colmid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1615ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
17 colmid.d . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1817ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1918eqcomd 2805 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐵) = (𝑋 𝐴))
20 simpr 478 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
213, 4, 5, 9, 14, 11, 16, 20tgbtwncom 25739 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
223, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 21ismir 25910 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
2322orcd 900 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
248adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2515adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
2613adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
2710adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
28 simpr 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
293, 4, 5, 24, 27, 26, 25, 28tgbtwncom 25739 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
303, 4, 5, 24, 26, 27tgbtwntriv1 25742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
313, 4, 5, 8, 10, 13, 10, 15, 17tgcgrcomlr 25731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3231adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3332eqcomd 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝑋) = (𝐴 𝑋))
34 eqidd 2800 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 𝑋))
353, 4, 5, 24, 25, 26, 27, 26, 26, 27, 29, 30, 33, 34tgcgrsub 25760 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐴))
363, 4, 5, 24, 25, 26, 26, 35axtgcgrid 25714 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
3736eqcomd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3837adantlr 707 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3938olcd 901 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
408adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4113adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4215adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵𝑃)
4310adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
44 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
453, 4, 5, 40, 42, 43tgbtwntriv1 25742 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
4631adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
47 eqidd 2800 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 𝑋) = (𝐵 𝑋))
483, 4, 5, 40, 41, 42, 43, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 47tgcgrsub 25760 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
493, 4, 5, 40, 41, 42, 42, 48axtgcgrid 25714 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
5049adantlr 707 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
5150olcd 901 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
52 df-ne 2972 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
53 colmid.c . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5453orcomd 898 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5554orcanai 1026 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5652, 55sylan2b 588 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
578adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5813adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
5915adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
60 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
6110adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋𝑃)
623, 6, 5, 57, 58, 59, 60, 61tgellng 25804 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
6356, 62mpbid 224 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
6423, 39, 51, 63mpjao3dan 1557 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
652, 64pm2.61dane 3058 1 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874  w3o 1107   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  distcds 16276  TarskiGcstrkg 25681  Itvcitv 25687  LineGclng 25688  pInvGcmir 25903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-hash 13371  df-trkgc 25699  df-trkgb 25700  df-trkgcb 25701  df-trkg 25704  df-mir 25904
This theorem is referenced by:  symquadlem  25940  midexlem  25943
  Copyright terms: Public domain W3C validator