MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colmid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem colmid 28194
Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m 𝑀 = (π‘†β€˜π‘‹)
colmid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
colmid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
colmid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
colmid.c (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
colmid.d (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
colmid (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Proof of Theorem colmid
StepHypRef Expression
1 animorr 977 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
2 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 mirval.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
4 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
5 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
7 mirval.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
87ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
9 colmid.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
11 colmid.m . . . . 5 𝑀 = (π‘†β€˜π‘‹)
12 colmid.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1312ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
14 colmid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1514ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
16 colmid.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
1716ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐴) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
1817eqcomd 2738 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐡) = (𝑋 βˆ’ 𝐴))
19 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
202, 3, 4, 8, 13, 10, 15, 19tgbtwncom 27994 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20ismir 28165 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 = (π‘€β€˜π΄))
2221orcd 871 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
237adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2414adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2512adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
269adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
27 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡))
282, 3, 4, 23, 26, 25, 24, 27tgbtwncom 27994 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝑋))
292, 3, 4, 23, 25, 26tgbtwntriv1 27997 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
302, 3, 4, 7, 9, 12, 9, 14, 16tgcgrcomlr 27986 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
3231eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
33 eqidd 2733 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐴 βˆ’ 𝑋))
342, 3, 4, 23, 24, 25, 26, 25, 25, 26, 28, 29, 32, 33tgcgrsub 28015 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐴 βˆ’ 𝐴))
352, 3, 4, 23, 24, 25, 25, 34axtgcgrid 27969 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 = 𝐴)
3635eqcomd 2738 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
3736adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
3837olcd 872 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
397adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4012adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4114adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
429adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
43 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
442, 3, 4, 39, 41, 42tgbtwntriv1 27997 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡𝐼𝑋))
4530adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
46 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑋) = (𝐡 βˆ’ 𝑋))
472, 3, 4, 39, 40, 41, 42, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46tgcgrsub 28015 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
482, 3, 4, 39, 40, 41, 41, 47axtgcgrid 27969 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
4948adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 = 𝐡)
5049olcd 872 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
51 df-ne 2941 . . . . 5 (𝐴 β‰  𝐡 ↔ Β¬ 𝐴 = 𝐡)
52 colmid.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ∨ 𝐴 = 𝐡))
5352orcomd 869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 = 𝐡 ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡)))
5453orcanai 1001 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
5551, 54sylan2b 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡))
567adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5712adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5814adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
59 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
609adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
612, 5, 4, 56, 57, 58, 59, 60tgellng 28059 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐡) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
6255, 61mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐡) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
6322, 38, 50, 62mpjao3dan 1431 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
641, 63pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 = (π‘€β€˜π΄) ∨ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27933  Itvcitv 27939  LineGclng 27940  pInvGcmir 28158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-trkgc 27954  df-trkgb 27955  df-trkgcb 27956  df-trkg 27959  df-mir 28159
This theorem is referenced by:  symquadlem  28195  midexlem  28198
  Copyright terms: Public domain W3C validator