Theorem midcom 27124

Description: Commutativity rule for the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
midcom	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))

Proof of Theorem midcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
8		midcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		midcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	midcl 27119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝑃)
11		eqid 2739	. . 3 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
12		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
13	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12	midcgr 27122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) − 𝐵) = ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) − 𝐴))
14	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	midbtwn 27121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 9, 8, 13, 14	ismir 27001	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴))
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 8, 5, 10	ismidb 27120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴)))
17	15, 16	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  2c2 12011  Basecbs 16893  distcds 16952  TarskiGcstrkg 26769  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26773  Itvcitv 26775  LineGclng 26776  pInvGcmir 26994  midGcmid 27114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-hash 14026  df-word 14199  df-concat 14255  df-s1 14282  df-s2 14542  df-s3 14543  df-trkgc 26790  df-trkgb 26791  df-trkgcb 26792  df-trkgld 26794  df-trkg 26795  df-cgrg 26853  df-leg 26925  df-mir 26995  df-rag 27036  df-perpg 27038  df-mid 27116

This theorem is referenced by:  lmicom  27130  hypcgrlem1  27141  hypcgrlem2  27142  hypcgr  27143