Theorem midcom 27895

Description: Commutativity rule for the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
midcom	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))

Proof of Theorem midcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
8		midcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		midcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	midcl 27890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝑃)
11		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
12		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
13	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12	midcgr 27893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) − 𝐵) = ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) − 𝐴))
14	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	midbtwn 27892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 9, 8, 13, 14	ismir 27772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴))
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 8, 5, 10	ismidb 27891	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴)))
17	15, 16	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5140  ‘cfv 6531  (class class class)co 7392  2c2 12248  Basecbs 17125  distcds 17187  TarskiGcstrkg 27540  Dim_TarskiG≥cstrkgld 27544  Itvcitv 27546  LineGclng 27547  pInvGcmir 27765  midGcmid 27885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-oadd 8451  df-er 8685  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9877  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12454  df-xnn0 12526  df-z 12540  df-uz 12804  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-hash 14272  df-word 14446  df-concat 14502  df-s1 14527  df-s2 14780  df-s3 14781  df-trkgc 27561  df-trkgb 27562  df-trkgcb 27563  df-trkgld 27565  df-trkg 27566  df-cgrg 27624  df-leg 27696  df-mir 27766  df-rag 27807  df-perpg 27809  df-mid 27887

This theorem is referenced by:  lmicom  27901  hypcgrlem1  27912  hypcgrlem2  27913  hypcgr  27914