Theorem midcom 28012

Description: Commutativity rule for the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
midcom	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))

Proof of Theorem midcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
6		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
8		midcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		midcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	midcl 28007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝑃)
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
12		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))
13	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12	midcgr 28010	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) − 𝐵) = ((𝐵(midG‘𝐺)𝐴) − 𝐴))
14	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9	midbtwn 28009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵(midG‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 9, 8, 13, 14	ismir 27889	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴))
16	1, 2, 3, 6, 7, 9, 8, 5, 10	ismidb 28008	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐵(midG‘𝐺)𝐴))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴)))
17	15, 16	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐵(midG‘𝐺)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5146  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  2c2 12262  Basecbs 17139  distcds 17201  TarskiGcstrkg 27657  Dim_TarskiG≥cstrkgld 27661  Itvcitv 27663  LineGclng 27664  pInvGcmir 27882  midGcmid 28002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-xnn0 12540  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-hash 14286  df-word 14460  df-concat 14516  df-s1 14541  df-s2 14794  df-s3 14795  df-trkgc 27678  df-trkgb 27679  df-trkgcb 27680  df-trkgld 27682  df-trkg 27683  df-cgrg 27741  df-leg 27813  df-mir 27883  df-rag 27924  df-perpg 27926  df-mid 28004

This theorem is referenced by:  lmicom  28018  hypcgrlem1  28029  hypcgrlem2  28030  hypcgr  28031