Theorem mirmir2 28697

Description: Point inversion of a point inversion through another point. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmir2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀‘𝑌))‘(𝑀‘𝑋)))

Proof of Theorem mirmir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		miriso.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 28684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
11		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑆‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑆‘(𝑀‘𝑌))
12		miriso.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	mircl 28684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝑌) = (𝑆‘𝑌)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12	mircl 28684	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ∈ 𝑃)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15	mircl 28684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12	mircgr 28680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − ((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = (𝑌 − 𝑋))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 9, 12, 17	mircgrs 28696	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋))) = ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑋)))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12	mirbtwn 28681	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (((𝑆‘𝑌)‘𝑋)𝐼𝑋))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 9, 12, 19	mirbtwni 28694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋))𝐼(𝑀‘𝑋)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 16, 18, 20	ismir 28682	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀‘𝑌))‘(𝑀‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  pInvGcmir 28675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-mir 28676

This theorem is referenced by:  mirrag  28724  colperpexlem1  28753  mirmid  28806