MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirmir2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirmir2 28397
Description: Point inversion of a point inversion through another point. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirmir2 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀𝑌))‘(𝑀𝑋)))

Proof of Theorem mirmir2
StepHypRef Expression
1 mirval.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . 2 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . 2 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . 2 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 miriso.2 . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 28384 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
11 eqid 2724 . 2 (𝑆‘(𝑀𝑌)) = (𝑆‘(𝑀𝑌))
12 miriso.1 . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12mircl 28384 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
14 eqid 2724 . . . 4 (𝑆𝑌) = (𝑆𝑌)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12mircl 28384 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑌)‘𝑋) ∈ 𝑃)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15mircl 28384 . 2 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12mircgr 28380 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ((𝑆𝑌)‘𝑋)) = (𝑌 𝑋))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 9, 12, 17mircgrs 28396 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑌) (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋))) = ((𝑀𝑌) (𝑀𝑋)))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12mirbtwn 28381 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (((𝑆𝑌)‘𝑋)𝐼𝑋))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 9, 12, 19mirbtwni 28394 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋))𝐼(𝑀𝑋)))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 16, 18, 20ismir 28382 1 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀𝑌))‘(𝑀𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6534  Basecbs 17145  distcds 17207  TarskiGcstrkg 28150  Itvcitv 28156  LineGclng 28157  pInvGcmir 28375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-hash 14289  df-word 14463  df-concat 14519  df-s1 14544  df-s2 14797  df-s3 14798  df-trkgc 28171  df-trkgb 28172  df-trkgcb 28173  df-trkg 28176  df-cgrg 28234  df-mir 28376
This theorem is referenced by:  mirrag  28424  colperpexlem1  28453  mirmid  28506
  Copyright terms: Public domain W3C validator