Theorem mirmir2 28397

Description: Point inversion of a point inversion through another point. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
miriso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
miriso.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirmir2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀‘𝑌))‘(𝑀‘𝑋)))

Proof of Theorem mirmir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		miriso.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 28384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
11		eqid 2724	. 2 ⊢ (𝑆‘(𝑀‘𝑌)) = (𝑆‘(𝑀‘𝑌))
12		miriso.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12	mircl 28384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
14		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝑌) = (𝑆‘𝑌)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12	mircl 28384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑌)‘𝑋) ∈ 𝑃)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15	mircl 28384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) ∈ 𝑃)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12	mircgr 28380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − ((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = (𝑌 − 𝑋))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 9, 12, 17	mircgrs 28396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋))) = ((𝑀‘𝑌) − (𝑀‘𝑋)))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14, 12	mirbtwn 28381	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (((𝑆‘𝑌)‘𝑋)𝐼𝑋))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 9, 12, 19	mirbtwni 28394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋))𝐼(𝑀‘𝑋)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 13, 16, 18, 20	ismir 28382	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑆‘𝑌)‘𝑋)) = ((𝑆‘(𝑀‘𝑌))‘(𝑀‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  Basecbs 17145  distcds 17207  TarskiGcstrkg 28150  Itvcitv 28156  LineGclng 28157  pInvGcmir 28375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-xnn0 12543  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-hash 14289  df-word 14463  df-concat 14519  df-s1 14544  df-s2 14797  df-s3 14798  df-trkgc 28171  df-trkgb 28172  df-trkgcb 28173  df-trkg 28176  df-cgrg 28234  df-mir 28376

This theorem is referenced by:  mirrag  28424  colperpexlem1  28453  mirmid  28506