Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcsectALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcsectALTV 47433
Description: A section in the category of non-unital rings, written out. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsectALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcsectALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcsectALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcsectALTV.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcsectALTV.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rngcsectALTV.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
rngcsectALTV.n 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngcsectALTV (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))

Proof of Theorem rngcsectALTV
StepHypRef Expression
1 rngcsectALTV.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2728 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2728 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2728 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
5 rngcsectALTV.n . . 3 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
6 rngcsectALTV.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7 rngcsectALTV.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
87rngccatALTV 47431 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 rngcsectALTV.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 rngcsectALTV.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11issect 17745 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
137, 1, 6, 2, 10, 11rngchomALTV 47426 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋 RngHom π‘Œ))
1413eleq2d 2815 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ)))
157, 1, 6, 2, 11, 10rngchomALTV 47426 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) = (π‘Œ RngHom 𝑋))
1615eleq2d 2815 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ↔ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)))
1714, 16anbi12d 630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))))
1817anbi1d 629 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
196adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2010adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2111adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
22 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ))
23 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))
247, 1, 19, 3, 20, 21, 20, 22, 23rngccoALTV 47429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
25 rngcsectALTV.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
267, 1, 4, 6, 10, 25rngcidALTV 47432 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
2726adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
2824, 27eqeq12d 2744 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ ((𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
2928pm5.32da 577 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
3018, 29bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
31 df-3an 1086 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)))
32 df-3an 1086 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
3330, 31, 323bitr4g 313 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
3412, 33bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   I cid 5579   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  Hom chom 17253  compcco 17254  Catccat 17653  Idccid 17654  Sectcsect 17736   RngHom crnghm 20387  RngCatALTVcrngcALTV 47421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-cat 17657  df-cid 17658  df-sect 17739  df-mgm 18609  df-mgmhm 18661  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-ghm 19182  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-rnghm 20389  df-rngcALTV 47422
This theorem is referenced by:  rngcinvALTV  47434
  Copyright terms: Public domain W3C validator