Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcsectALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcsectALTV 47225
Description: A section in the category of non-unital rings, written out. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsectALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcsectALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcsectALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcsectALTV.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcsectALTV.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rngcsectALTV.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
rngcsectALTV.n 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngcsectALTV (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))

Proof of Theorem rngcsectALTV
StepHypRef Expression
1 rngcsectALTV.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2726 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2726 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2726 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
5 rngcsectALTV.n . . 3 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
6 rngcsectALTV.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7 rngcsectALTV.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
87rngccatALTV 47223 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 rngcsectALTV.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 rngcsectALTV.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11issect 17709 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
137, 1, 6, 2, 10, 11rngchomALTV 47218 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋 RngHom π‘Œ))
1413eleq2d 2813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ)))
157, 1, 6, 2, 11, 10rngchomALTV 47218 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) = (π‘Œ RngHom 𝑋))
1615eleq2d 2813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ↔ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)))
1714, 16anbi12d 630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))))
1817anbi1d 629 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
196adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2010adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2111adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
22 simprl 768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ))
23 simprr 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))
247, 1, 19, 3, 20, 21, 20, 22, 23rngccoALTV 47221 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
25 rngcsectALTV.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
267, 1, 4, 6, 10, 25rngcidALTV 47224 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
2726adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
2824, 27eqeq12d 2742 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋))) β†’ ((𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
2928pm5.32da 578 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
3018, 29bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
31 df-3an 1086 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)))
32 df-3an 1086 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
3330, 31, 323bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
3412, 33bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHom π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHom 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Hom chom 17217  compcco 17218  Catccat 17617  Idccid 17618  Sectcsect 17700   RngHom crnghm 20336  RngCatALTVcrngcALTV 47213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-cat 17621  df-cid 17622  df-sect 17703  df-mgm 18573  df-mgmhm 18625  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-rnghm 20338  df-rngcALTV 47214
This theorem is referenced by:  rngcinvALTV  47226
  Copyright terms: Public domain W3C validator