Theorem setcsect 18025

Description: A section in the category of sets, written out. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcsect.n	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcsect	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Proof of Theorem setcsect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		setcsect.n	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
6		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
8	7	setccat 18021	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11	7, 6	setcbas 18014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
13		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	13, 11	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 14	issect 17689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
16	7, 6, 2, 10, 13	elsetchom 18017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋⟶𝑌))
17	7, 6, 2, 13, 10	elsetchom 18017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ↔ 𝐺:𝑌⟶𝑋))
18	16, 17	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)))
19	18	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
20	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
21	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
24		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
25	7, 20, 3, 21, 22, 21, 23, 24	setcco 18019	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
26	7, 4, 6, 10	setcid 18022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
28	25, 27	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
29	28	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
30	19, 29	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
31		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
32		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
33	30, 31, 32	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
34	15, 33	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   I cid 5526   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Hom chom 17200  compcco 17201  Catccat 17599  Idccid 17600  Sectcsect 17680  SetCatcsetc 18011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-hom 17213  df-cco 17214  df-cat 17603  df-cid 17604  df-sect 17683  df-setc 18012

This theorem is referenced by:  setcinv  18026