Theorem setcsect 18226

Description: A section in the category of sets, written out. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcsect.n	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcsect	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Proof of Theorem setcsect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		setcsect.n	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
6		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
8	7	setccat 18222	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
9	6, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11	7, 6	setcbas 18215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
13		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	13, 11	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 14	issect 17890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
16	7, 6, 2, 10, 13	elsetchom 18218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋⟶𝑌))
17	7, 6, 2, 13, 10	elsetchom 18218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ↔ 𝐺:𝑌⟶𝑋))
18	16, 17	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)))
19	18	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
20	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
21	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
24		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
25	7, 20, 3, 21, 22, 21, 23, 24	setcco 18220	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
26	7, 4, 6, 10	setcid 18223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
28	25, 27	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
29	28	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
30	19, 29	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
31		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
32		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
33	30, 31, 32	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
34	15, 33	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   I cid 5541   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  Hom chom 17401  compcco 17402  Catccat 17800  Idccid 17801  Sectcsect 17881  SetCatcsetc 18212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-struct 17287  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-hom 17414  df-cco 17415  df-cat 17804  df-cid 17805  df-sect 17884  df-setc 18213

This theorem is used by:  setcinv  18227