MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcsect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setcsect 17178
Description: A section in the category of sets, written out. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u (𝜑𝑈𝑉)
setcmon.x (𝜑𝑋𝑈)
setcmon.y (𝜑𝑌𝑈)
setcsect.n 𝑆 = (Sect‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setcsect (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Proof of Theorem setcsect
StepHypRef Expression
1 eqid 2794 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2 eqid 2794 . . 3 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3 eqid 2794 . . 3 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
4 eqid 2794 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5 setcsect.n . . 3 𝑆 = (Sect‘𝐶)
6 setcmon.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
7 setcmon.c . . . . 5 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
87setccat 17174 . . . 4 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
10 setcmon.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
117, 6setcbas 17167 . . . 4 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
1210, 11eleqtrd 2884 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
13 setcmon.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
1413, 11eleqtrd 2884 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
151, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 14issect 16852 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
167, 6, 2, 10, 13elsetchom 17170 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋𝑌))
177, 6, 2, 13, 10elsetchom 17170 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ↔ 𝐺:𝑌𝑋))
1816, 17anbi12d 630 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)))
1918anbi1d 629 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
206adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → 𝑈𝑉)
2110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → 𝑋𝑈)
2213adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → 𝑌𝑈)
23 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
24 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → 𝐺:𝑌𝑋)
257, 20, 3, 21, 22, 21, 23, 24setcco 17172 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = (𝐺𝐹))
267, 4, 6, 10setcid 17175 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
2726adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
2825, 27eqeq12d 2809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋)) → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋) ↔ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
2928pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
3019, 29bitrd 280 . . 3 (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
31 df-3an 1082 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
32 df-3an 1082 . . 3 ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
3330, 31, 323bitr4g 315 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
3415, 33bitrd 280 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  cop 4480   class class class wbr 4964   I cid 5350  cres 5448  ccom 5450  wf 6224  cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  Hom chom 16405  compcco 16406  Catccat 16764  Idccid 16765  Sectcsect 16843  SetCatcsetc 17164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-hom 16418  df-cco 16419  df-cat 16768  df-cid 16769  df-sect 16846  df-setc 17165
This theorem is referenced by:  setcinv  17179
  Copyright terms: Public domain W3C validator