Theorem setcsect 18006

Description: A section in the category of sets, written out. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcsect.n	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcsect	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Proof of Theorem setcsect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		setcsect.n	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
6		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
8	7	setccat 18002	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11	7, 6	setcbas 17995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
13		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	13, 11	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 14	issect 17670	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
16	7, 6, 2, 10, 13	elsetchom 17998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋⟶𝑌))
17	7, 6, 2, 13, 10	elsetchom 17998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ↔ 𝐺:𝑌⟶𝑋))
18	16, 17	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)))
19	18	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
20	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
21	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
24		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
25	7, 20, 3, 21, 22, 21, 23, 24	setcco 18000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
26	7, 4, 6, 10	setcid 18003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
28	25, 27	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
29	28	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
30	19, 29	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
31		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
32		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
33	30, 31, 32	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
34	15, 33	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095   I cid 5515   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  Hom chom 17182  compcco 17183  Catccat 17580  Idccid 17581  Sectcsect 17661  SetCatcsetc 17992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-hom 17195  df-cco 17196  df-cat 17584  df-cid 17585  df-sect 17664  df-setc 17993

This theorem is referenced by:  setcinv  18007