Theorem setcsect 18014

Description: A section in the category of sets, written out. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcmon.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
setcmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
setcsect.n	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setcsect	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Proof of Theorem setcsect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5		setcsect.n	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
6		setcmon.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
7		setcmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
8	7	setccat 18010	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		setcmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11	7, 6	setcbas 18003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))
12	10, 11	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
13		setcmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
14	13, 11	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
15	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 14	issect 17678	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
16	7, 6, 2, 10, 13	elsetchom 18006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹:𝑋⟶𝑌))
17	7, 6, 2, 13, 10	elsetchom 18006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ↔ 𝐺:𝑌⟶𝑋))
18	16, 17	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)))
19	18	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
20	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
21	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
23		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
24		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
25	7, 20, 3, 21, 22, 21, 23, 24	setcco 18008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
26	7, 4, 6, 10	setcid 18011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
28	25, 27	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋)) → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
29	28	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
30	19, 29	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
31		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
32		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
33	30, 31, 32	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
34	15, 33	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋 ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095   I cid 5517   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  Hom chom 17190  compcco 17191  Catccat 17588  Idccid 17589  Sectcsect 17669  SetCatcsetc 18000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-hom 17203  df-cco 17204  df-cat 17592  df-cid 17593  df-sect 17672  df-setc 18001

This theorem is referenced by:  setcinv  18015