MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcsect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setcsect 17980
Description: A section in the category of sets, written out. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
setcmon.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
setcmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
setcsect.n 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
setcsect (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))

Proof of Theorem setcsect
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2733 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2733 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
5 setcsect.n . . 3 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
6 setcmon.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7 setcmon.c . . . . 5 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
87setccat 17976 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 setcmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
117, 6setcbas 17969 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
1210, 11eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
13 setcmon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
1413, 11eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
151, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 14issect 17641 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
167, 6, 2, 10, 13elsetchom 17972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
177, 6, 2, 13, 10elsetchom 17972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ↔ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹))
1816, 17anbi12d 632 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)))
1918anbi1d 631 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
206adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2110adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2213adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
23 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
24 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
257, 20, 3, 21, 22, 21, 23, 24setcco 17974 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
267, 4, 6, 10setcid 17977 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑋))
2726adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑋))
2825, 27eqeq12d 2749 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹)) β†’ ((𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)))
2928pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
3019, 29bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
31 df-3an 1090 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)))
32 df-3an 1090 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)) ↔ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋)))
3330, 31, 323bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
3415, 33bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150  Catccat 17549  Idccid 17550  Sectcsect 17632  SetCatcsetc 17966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-sect 17635  df-setc 17967
This theorem is referenced by:  setcinv  17981
  Copyright terms: Public domain W3C validator