Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcsect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcsect 45541
Description: A section in the category of unital rings, written out. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcsect.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcsect.u (𝜑𝑈𝑉)
ringcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
ringcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
ringcsect.e 𝐸 = (Base‘𝑋)
ringcsect.n 𝑆 = (Sect‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
ringcsect (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸))))

Proof of Theorem ringcsect
StepHypRef Expression
1 ringcsect.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2739 . . 3 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3 eqid 2739 . . 3 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
4 eqid 2739 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
5 ringcsect.n . . 3 𝑆 = (Sect‘𝐶)
6 ringcsect.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
7 ringcsect.c . . . . 5 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
87ringccat 45534 . . . 4 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
10 ringcsect.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
11 ringcsect.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11issect 17446 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
137, 1, 6, 2, 10, 11ringchom 45523 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
1413eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌)))
157, 1, 6, 2, 11, 10ringchom 45523 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) = (𝑌 RingHom 𝑋))
1615eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ↔ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)))
1714, 16anbi12d 630 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))))
1817anbi1d 629 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
196adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → 𝑈𝑉)
2010adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → 𝑋𝐵)
217, 1, 6ringcbas 45521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
2221eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
23 inss1 4167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈)
2524sseld 3924 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋𝑈))
2622, 25sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋𝑈))
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → (𝑋𝐵𝑋𝑈))
2820, 27mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → 𝑋𝑈)
2911adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → 𝑌𝐵)
3021eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝐵𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
3124sseld 3924 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑌𝑈))
3230, 31sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐵𝑌𝑈))
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → (𝑌𝐵𝑌𝑈))
3429, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → 𝑌𝑈)
35 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
36 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3735, 36rhmf 19951 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)) → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
3938adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
4036, 35rhmf 19951 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋) → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑋))
4140adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)) → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑋))
4241adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑋))
437, 19, 3, 28, 34, 28, 39, 42ringcco 45527 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = (𝐺𝐹))
44 ringcsect.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Base‘𝑋)
457, 1, 4, 6, 10, 44ringcid 45535 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝐸))
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = ( I ↾ 𝐸))
4743, 46eqeq12d 2755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋))) → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋) ↔ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸)))
4847pm5.32da 578 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸))))
4918, 48bitrd 278 . . 3 (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸))))
50 df-3an 1087 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
51 df-3an 1087 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋)) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸)))
5249, 50, 513bitr4g 313 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌(Hom ‘𝐶)𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸))))
5312, 52bitrd 278 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RingHom 𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌 RingHom 𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  cin 3890  wss 3891  cop 4572   class class class wbr 5078   I cid 5487  cres 5590  ccom 5592  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  Hom chom 16954  compcco 16955  Catccat 17354  Idccid 17355  Sectcsect 17437  Ringcrg 19764   RingHom crh 19937  RingCatcringc 45513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-cat 17358  df-cid 17359  df-homf 17360  df-sect 17440  df-ssc 17503  df-resc 17504  df-subc 17505  df-estrc 17820  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-grp 18561  df-ghm 18813  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-rnghom 19940  df-ringc 45515
This theorem is referenced by:  ringcinv  45542
  Copyright terms: Public domain W3C validator