Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcsect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcsect 46957
Description: A section in the category of non-unital rings, written out. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsect.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcsect.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcsect.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcsect.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcsect.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rngcsect.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
rngcsect.n 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngcsect (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))

Proof of Theorem rngcsect
StepHypRef Expression
1 rngcsect.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2732 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2732 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2732 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
5 rngcsect.n . . 3 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
6 rngcsect.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7 rngcsect.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
87rngccat 46955 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 rngcsect.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 rngcsect.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11issect 17702 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
137, 1, 6, 2, 10, 11rngchom 46944 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋 RngHomo π‘Œ))
1413eleq2d 2819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ)))
157, 1, 6, 2, 11, 10rngchom 46944 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) = (π‘Œ RngHomo 𝑋))
1615eleq2d 2819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ↔ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)))
1714, 16anbi12d 631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))))
1817anbi1d 630 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
196adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2010adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
217, 1, 6rngcbas 46942 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
2221eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
23 inss1 4228 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∩ Rng) βŠ† π‘ˆ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) βŠ† π‘ˆ)
2524sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2622, 25sylbid 239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2820, 27mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2911adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3021eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
3124sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3230, 31sylbid 239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3429, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
36 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3735, 36rnghmf 46776 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
3938adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
4036, 35rnghmf 46776 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
4140adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
437, 19, 3, 28, 34, 28, 39, 42rngcco 46948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
44 rngcsect.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
457, 1, 4, 6, 10, 44rngcid 46956 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
4645adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
4743, 46eqeq12d 2748 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ ((𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
4847pm5.32da 579 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
4918, 48bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
50 df-3an 1089 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)))
51 df-3an 1089 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
5249, 50, 513bitr4g 313 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
5312, 52bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   I cid 5573   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  Hom chom 17210  compcco 17211  Catccat 17610  Idccid 17611  Sectcsect 17693  Rngcrng 46727   RngHomo crngh 46762  RngCatcrngc 46934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-cat 17614  df-cid 17615  df-homf 17616  df-sect 17696  df-ssc 17759  df-resc 17760  df-subc 17761  df-estrc 18076  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-ghm 19092  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-mgmhm 46628  df-rng 46728  df-rnghomo 46764  df-rngc 46936
This theorem is referenced by:  rngcinv  46958
  Copyright terms: Public domain W3C validator