Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcsect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcsect 46878
Description: A section in the category of non-unital rings, written out. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsect.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcsect.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcsect.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcsect.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcsect.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rngcsect.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
rngcsect.n 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngcsect (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))

Proof of Theorem rngcsect
StepHypRef Expression
1 rngcsect.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2733 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2733 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
5 rngcsect.n . . 3 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
6 rngcsect.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7 rngcsect.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
87rngccat 46876 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 rngcsect.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 rngcsect.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11issect 17700 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
137, 1, 6, 2, 10, 11rngchom 46865 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋 RngHomo π‘Œ))
1413eleq2d 2820 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ)))
157, 1, 6, 2, 11, 10rngchom 46865 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) = (π‘Œ RngHomo 𝑋))
1615eleq2d 2820 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ↔ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)))
1714, 16anbi12d 632 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))))
1817anbi1d 631 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
196adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2010adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
217, 1, 6rngcbas 46863 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
2221eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
23 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∩ Rng) βŠ† π‘ˆ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) βŠ† π‘ˆ)
2524sseld 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2622, 25sylbid 239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2726adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2820, 27mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2911adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3021eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
3124sseld 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3230, 31sylbid 239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3332adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3429, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3735, 36rnghmf 46697 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
3938adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
4036, 35rnghmf 46697 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
4140adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
4241adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
437, 19, 3, 28, 34, 28, 39, 42rngcco 46869 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
44 rngcsect.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
457, 1, 4, 6, 10, 44rngcid 46877 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
4645adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
4743, 46eqeq12d 2749 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ ((𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
4847pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
4918, 48bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
50 df-3an 1090 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)))
51 df-3an 1090 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
5249, 50, 513bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
5312, 52bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   I cid 5574   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609  Sectcsect 17691  Rngcrng 46648   RngHomo crngh 46683  RngCatcrngc 46855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-cat 17612  df-cid 17613  df-homf 17614  df-sect 17694  df-ssc 17757  df-resc 17758  df-subc 17759  df-estrc 18074  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-mgmhm 46549  df-rng 46649  df-rnghomo 46685  df-rngc 46857
This theorem is referenced by:  rngcinv  46879
  Copyright terms: Public domain W3C validator