Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcsect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcsect 46431
Description: A section in the category of non-unital rings, written out. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsect.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcsect.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcsect.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcsect.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcsect.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
rngcsect.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
rngcsect.n 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngcsect (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))

Proof of Theorem rngcsect
StepHypRef Expression
1 rngcsect.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2731 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3 eqid 2731 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
4 eqid 2731 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
5 rngcsect.n . . 3 𝑆 = (Sectβ€˜πΆ)
6 rngcsect.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7 rngcsect.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
87rngccat 46429 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10 rngcsect.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 rngcsect.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11issect 17665 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
137, 1, 6, 2, 10, 11rngchom 46418 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) = (𝑋 RngHomo π‘Œ))
1413eleq2d 2818 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ)))
157, 1, 6, 2, 11, 10rngchom 46418 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) = (π‘Œ RngHomo 𝑋))
1615eleq2d 2818 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ↔ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)))
1714, 16anbi12d 631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))))
1817anbi1d 630 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹))))
196adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
2010adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
217, 1, 6rngcbas 46416 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
2221eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
23 inss1 4208 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∩ Rng) βŠ† π‘ˆ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) βŠ† π‘ˆ)
2524sseld 3961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2622, 25sylbid 239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2820, 27mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2911adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3021eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
3124sseld 3961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3230, 31sylbid 239 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3429, 33mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
35 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
36 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3735, 36rnghmf 46350 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
3938adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
4036, 35rnghmf 46350 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
4140adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘‹))
437, 19, 3, 28, 34, 28, 39, 42rngcco 46422 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
44 rngcsect.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‹)
457, 1, 4, 6, 10, 44rngcid 46430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
4645adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝐸))
4743, 46eqeq12d 2747 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋))) β†’ ((𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹) ↔ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
4847pm5.32da 579 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
4918, 48bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
50 df-3an 1089 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋)) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)))
51 df-3an 1089 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋)) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸)))
5249, 50, 513bitr4g 313 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋(Hom β€˜πΆ)π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜πΆ)𝑋) ∧ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜πΆ)𝑋)𝐹) = ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘‹)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
5312, 52bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(π‘‹π‘†π‘Œ)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 RngHomo π‘Œ) ∧ 𝐺 ∈ (π‘Œ RngHomo 𝑋) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3927   βŠ† wss 3928  βŸ¨cop 4612   class class class wbr 5125   I cid 5550   β†Ύ cres 5655   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  Hom chom 17173  compcco 17174  Catccat 17573  Idccid 17574  Sectcsect 17656  Rngcrng 46325   RngHomo crngh 46336  RngCatcrngc 46408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-hom 17186  df-cco 17187  df-0g 17352  df-cat 17577  df-cid 17578  df-homf 17579  df-sect 17659  df-ssc 17722  df-resc 17723  df-subc 17724  df-estrc 18039  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-grp 18780  df-ghm 19035  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-mgmhm 46226  df-rng 46326  df-rnghomo 46338  df-rngc 46410
This theorem is referenced by:  rngcinv  46432
  Copyright terms: Public domain W3C validator