MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ituni0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ituni0 10158
Description: A zero-fold iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
Assertion
Ref Expression
ituni0 (𝐴𝑉 → ((𝑈𝐴)‘∅) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ituni0
StepHypRef Expression
1 ituni.u . . . 4 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
21itunifval 10156 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω))
32fveq1d 6770 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑈𝐴)‘∅) = ((rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω)‘∅))
4 fr0g 8251 . 2 (𝐴𝑉 → ((rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
53, 4eqtrd 2779 1 (𝐴𝑉 → ((𝑈𝐴)‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2109  Vcvv 3430  c0 4261   cuni 4844  cmpt 5161  cres 5590  cfv 6430  ωcom 7700  reccrdg 8224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225
This theorem is referenced by:  itunitc1  10160  itunitc  10161  ituniiun  10162  hsmexlem4  10169
  Copyright terms: Public domain W3C validator