Theorem ituni0 9528

Description: A zero-fold iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ituni.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))

Assertion

Ref	Expression
ituni0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑈‘𝐴)‘∅) = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ituni0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ituni.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
2	1	itunifval 9526	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑈‘𝐴) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝐴) ↾ ω))
3	2	fveq1d 6413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑈‘𝐴)‘∅) = ((rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝐴) ↾ ω)‘∅))
4		fr0g 7770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑈‘𝐴)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  ∅c0 4115  ∪ cuni 4628   ↦ cmpt 4922   ↾ cres 5314  ‘cfv 6101  ωcom 7299  reccrdg 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745

This theorem is referenced by:  itunitc1  9530  itunitc  9531  ituniiun  9532  hsmexlem4  9539