Theorem itunifn 10367

Description: Functionality of the iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ituni.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))

Assertion

Ref	Expression
itunifn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑈‘𝐴) Fn ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem itunifn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8399	. 2 ⊢ (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω
2		ituni.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
3	2	itunifval 10366	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑈‘𝐴) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝐴) ↾ ω))
4	3	fneq1d 6608	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑈‘𝐴) Fn ω ↔ (rec((𝑦 ∈ V ↦ ∪ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω))
5	1, 4	mpbiri 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑈‘𝐴) Fn ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∪ cuni 4862   ↦ cmpt 5178   ↾ cres 5645   Fn wfn 6510  ‘cfv 6515  ωcom 7840  reccrdg 8373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374

This theorem is referenced by:  itunisuc  10369  itunitc1  10370  itunitc  10371  ituniiun  10372  hsmexlem5  10380