MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunifn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itunifn 10031
Description: Functionality of the iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
Assertion
Ref Expression
itunifn (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) Fn ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem itunifn
StepHypRef Expression
1 frfnom 8170 . 2 (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω
2 ituni.u . . . 4 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
32itunifval 10030 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω))
43fneq1d 6472 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑈𝐴) Fn ω ↔ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω))
51, 4mpbiri 261 1 (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) Fn ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408   cuni 4819  cmpt 5135  cres 5553   Fn wfn 6375  cfv 6380  ωcom 7644  reccrdg 8145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146
This theorem is referenced by:  itunisuc  10033  itunitc1  10034  itunitc  10035  ituniiun  10036  hsmexlem5  10044
  Copyright terms: Public domain W3C validator