MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunifn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itunifn 10219
Description: Functionality of the iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
Assertion
Ref Expression
itunifn (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) Fn ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem itunifn
StepHypRef Expression
1 frfnom 8297 . 2 (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω
2 ituni.u . . . 4 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
32itunifval 10218 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω))
43fneq1d 6557 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑈𝐴) Fn ω ↔ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω))
51, 4mpbiri 258 1 (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) Fn ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3437   cuni 4844  cmpt 5164  cres 5602   Fn wfn 6453  cfv 6458  ωcom 7744  reccrdg 8271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272
This theorem is referenced by:  itunisuc  10221  itunitc1  10222  itunitc  10223  ituniiun  10224  hsmexlem5  10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator