Theorem ivthlem1 24596

Description: Lemma for ivth 24599. The set 𝑆 of all 𝑥 values with (𝐹‘𝑥) less than 𝑈 is lower bounded by 𝐴 and upper bounded by 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivth.10	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}

Assertion

Ref	Expression
ivthlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐷,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem ivthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 11106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lbicc2 13178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		fveq2 6768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
10	9	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
11		ivth.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12, 8	rspcdva 3562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
14		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
15		ivth.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
16	15	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
17	13, 14, 16	ltled 11106	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
18	9	breq1d 5088	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
19		ivth.10	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}
20	18, 19	elrab2 3628	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
21	8, 17, 20	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
22	19	ssrab3 4019	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
23	22	sseli 3921	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24		iccleub 13116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
25	24	3expia 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
26	2, 4, 25	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
27	23, 26	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ 𝐵))
28	27	ralrimiv 3108	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)
29	21, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  {crab 3069   ⊆ wss 3891   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  ℝcr 10854  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993   ≤ cle 10994  [,]cicc 13064  –cn→ccncf 24020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-icc 13068

This theorem is referenced by:  ivthlem2  24597  ivthlem3  24598