Theorem ivthlem1 25380

Description: Lemma for ivth 25383. The set 𝑆 of all 𝑥 values with (𝐹‘𝑥) less than 𝑈 is lower bounded by 𝐴 and upper bounded by 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivth.10	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}

Assertion

Ref	Expression
ivthlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐷,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem ivthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lbicc2 13364	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
10	9	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
11		ivth.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12, 8	rspcdva 3578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
14		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
15		ivth.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
16	15	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
17	13, 14, 16	ltled 11261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
18	9	breq1d 5101	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
19		ivth.10	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}
20	18, 19	elrab2 3650	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
21	8, 17, 20	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
22	19	ssrab3 4032	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
23	22	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24		iccleub 13301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
25	24	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
26	2, 4, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
27	23, 26	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ 𝐵))
28	27	ralrimiv 3123	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)
29	21, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248  –cn→ccncf 24797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-icc 13252

This theorem is referenced by:  ivthlem2  25381  ivthlem3  25382