Theorem ivthlem1 25685

Description: Lemma for ivth 25688. The set 𝑆 of all 𝑥 values with (𝐹‘𝑥) less than 𝑈 is lower bounded by 𝐴 and upper bounded by 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivth.10	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}

Assertion

Ref	Expression
ivthlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐷,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem ivthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 11386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lbicc2 13521	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
10	9	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
11		ivth.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12, 8	rspcdva 3580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
14		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
15		ivth.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
16	15	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
17	13, 14, 16	ltled 11386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
18	9	breq1d 5117	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
19		ivth.10	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}
20	18, 19	elrab2 3652	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
21	8, 17, 20	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
22	19	ssrab3 4033	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
23	22	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24		iccleub 13458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
25	24	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
26	2, 4, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
27	23, 26	syl5 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ 𝐵))
28	27	ralrimiv 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)
29	21, 28	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  [,]cicc 13405  –cn→ccncf 25110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-icc 13409

This theorem is used by:  ivthlem2  25686  ivthlem3  25687