Theorem ivth 24523

Description: The intermediate value theorem, increasing case. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ivth	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ivth.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
7		ivth.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8		ivth.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
9		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
10	9	breq1d 5080	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈))
11	10	cbvrabv 3416	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}
12		eqid 2738	. . 3 ⊢ sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12	ivthlem3 24522	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈))
14		fveqeq2 6765	. . 3 ⊢ (𝑐 = sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈))
15	14	rspcev 3552	. 2 ⊢ ((sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
16	13, 15	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℂcc 10800  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  [,]cicc 13011  –cn→ccncf 23945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-cncf 23947

This theorem is referenced by:  ivth2  24524  ivthle  24525  reeff1olem  25510  signsply0  32430