Theorem ivth 25402

Description: The intermediate value theorem, increasing case. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ivth	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
6		ivth.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
7		ivth.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8		ivth.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
9		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
10	9	breq1d 5105	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈))
11	10	cbvrabv 3406	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12	ivthlem3 25401	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈))
14		fveqeq2 6840	. . 3 ⊢ (𝑐 = sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) → ((𝐹‘𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈))
15	14	rspcev 3573	. 2 ⊢ ((sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)
16	13, 15	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  {crab 3396   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  supcsup 9335  ℂcc 11015  ℝcr 11016   < clt 11157   ≤ cle 11158  (,)cioo 13252  [,]cicc 13255  –cn→ccncf 24816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-ioo 13256  df-icc 13259  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-cncf 24818

This theorem is referenced by:  ivth2  25403  ivthle  25404  reeff1olem  26403  signsply0  34636