MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivth 25503
Description: The intermediate value theorem, increasing case. This is Metamath 100 proof #79. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
ivth (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivth
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
5 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ivth.7 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
7 ivth.8 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8 ivth.9 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
9 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
109breq1d 5158 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑦) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈))
1110cbvrabv 3444 . . 3 {𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈} = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
12 eqid 2735 . . 3 sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) = sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12ivthlem3 25502 . 2 (𝜑 → (sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈))
14 fveqeq2 6916 . . 3 (𝑐 = sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈))
1514rspcev 3622 . 2 ((sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < ) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹‘sup({𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈}, ℝ, < )) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
1613, 15syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  cnccncf 24916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-cncf 24918
This theorem is referenced by:  ivth2  25504  ivthle  25505  reeff1olem  26505  signsply0  34545
  Copyright terms: Public domain W3C validator