MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthlem3 24723
Description: Lemma for ivth 24724, the intermediate value theorem. Show that (𝐹𝐶) cannot be greater than 𝑈, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivth.10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
ivth.11 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
ivthlem3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹𝐶) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 ivth.10 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
32ssrab3 4032 . . . . . 6 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 iccssre 13267 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
83, 7sstrid 3947 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
9 ivth.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
10 ivth.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
11 ivth.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
13 ivth.8 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
14 ivth.9 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
154, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2ivthlem1 24721 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
1615simpld 496 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
1716ne0d 4287 . . . . 5 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1815simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵)
19 brralrspcev 5157 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
205, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
218, 17, 20suprcld 12044 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
221, 21eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2314simpld 496 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) < 𝑈)
244, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 1ivthlem2 24722 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)
2512adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
268, 17, 20, 16suprubd 12043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
2726, 1breqtrrdi 5139 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐶)
288, 17, 203jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
29 suprleub 12047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3028, 5, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3118, 30mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
321, 31eqbrtrid 5132 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶𝐵)
33 elicc2 13250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
344, 5, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
3522, 27, 32, 34mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3611, 35sseldd 3937 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐷)
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → 𝐶𝐷)
38 fveq2 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
3938eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐶) ∈ ℝ))
4013ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4139, 40, 35rspcdva 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
42 difrp 12874 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → (𝑈 < (𝐹𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+))
439, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+))
4443biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+)
45 cncfi 24163 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) ∧ 𝐶𝐷 ∧ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)))
4625, 37, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)))
47 ssralv 4002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
4811, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
5022ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
51 ltsubrp 12872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < 𝐶)
5250, 51sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < 𝐶)
5352, 1breqtrdi 5138 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ))
5428ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
55 rpre 12844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
5750, 56resubcld 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) ∈ ℝ)
58 suprlub 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ (𝐶𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦))
5954, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦))
6053, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦)
613sseli 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6261ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝜑)
6463, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6564, 62sseldd 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6663, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6763, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
68 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦𝑆)
69 suprub 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
7067, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
7170, 1breqtrrdi 5139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦𝐶)
7265, 66, 71abssuble0d 15244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦𝐶)) = (𝐶𝑦))
7356adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
74 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐶𝑧) < 𝑦)
7566, 73, 65, 74ltsub23d 11686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐶𝑦) < 𝑧)
7672, 75eqbrtrd 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧)
7762, 76, 68jca32 517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
7877ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆))))
7978reximdv2 3158 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
8060, 79mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆))
81 r19.29 3114 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
82 pm3.45 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆)))
8382imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆))
84 fveq2 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
8584eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
8640ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8761ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8885, 86, 87rspcdva 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8941ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
909ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑈 ∈ ℝ)
9189, 90resubcld 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ)
9288, 89, 91absdifltd 15245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ↔ (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + ((𝐹𝐶) − 𝑈)))))
9389recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
9490recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑈 ∈ ℂ)
9593, 94nncand 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) = 𝑈)
9695breq1d 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑦)))
9784breq1d 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
9897, 2elrab2 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
9998simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑆 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈)
10099ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈)
10188, 90, 100lensymd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝑦))
102101pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝑈 < (𝐹𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
10396, 102sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
104103adantrd 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + ((𝐹𝐶) − 𝑈))) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
10592, 104sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
106105expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑆 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
107106impcomd 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
108107adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
10983, 108syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
110109rexlimdva 3149 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
11181, 110syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
11280, 111mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
11349, 112syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
114113rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
11546, 114mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))
116115pm2.01da 797 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))
11741, 9lttri3d 11221 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) = 𝑈 ↔ (¬ (𝐹𝐶) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
11824, 116, 117mpbir2and 711 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) = 𝑈)
11923, 118breqtrrd 5125 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶))
12041ltnrd 11215 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶))
121 fveq2 6830 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐴))
122121breq1d 5107 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
123122notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶) ↔ ¬ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
124120, 123syl5ibcom 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 = 𝐴 → ¬ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
125124necon2ad 2956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → 𝐶𝐴))
126125, 27jctild 527 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
1274, 22ltlend 11226 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
128126, 127sylibrd 259 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
129119, 128mpd 15 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
13014simprd 497 . . . . 5 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐵))
131118, 130eqbrtrd 5119 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵))
132 fveq2 6830 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐶))
133132breq2d 5109 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
134133notbid 318 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → (¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
135120, 134syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
136135necon2ad 2956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐵𝐶))
137136, 32jctild 527 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
13822, 5ltlend 11226 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
139137, 138sylibrd 259 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
140131, 139mpd 15 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐵)
1414rexrd 11131 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1425rexrd 11131 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
143 elioo2 13226 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
144141, 142, 143syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
14522, 129, 140, 144mpbir3and 1342 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
146145, 118jca 513 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹𝐶) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3404  wss 3902  c0 4274   class class class wbr 5097  cfv 6484  (class class class)co 7342  supcsup 9302  cc 10975  cr 10976   + caddc 10980  *cxr 11114   < clt 11115  cle 11116  cmin 11311  +crp 12836  (,)cioo 13185  [,]cicc 13188  abscabs 15045  cnccncf 24145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-sup 9304  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-ioo 13189  df-icc 13192  df-seq 13828  df-exp 13889  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-cncf 24147
This theorem is referenced by:  ivth  24724
  Copyright terms: Public domain W3C validator