Theorem kardval2 35821

Description: The value of the kard function. This theorem depends on the Axiom of Regularity and the Axiom of Infinity, but it does not depend on the Axiom of Choice. See also kardval 35820. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardval2	⊢ (kard‘𝐴) = {𝑥 ∣ (𝑥 ≈ 𝐴 ∧ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝐴 → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)))}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem kardval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kardval 35820	. 2 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}
2		breq1 5106	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝑦 ≈ 𝐴))
3	2	scottab 9940	. 2 ⊢ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = {𝑥 ∣ (𝑥 ≈ 𝐴 ∧ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝐴 → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)))}
4	1, 3	eqtri 2784	1 ⊢ (kard‘𝐴) = {𝑥 ∣ (𝑥 ≈ 𝐴 ∧ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝐴 → (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)))}

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  {cab 2739   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538   ≈ cen 8970  rankcrnk 9767  Scott cscott 9928  kardckard 35817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-en 8974  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-kard 35818

This theorem is used by:  elkarden  35823