Theorem kardval 35624

Description: The value of the kard function. This theorem depends on the Axiom of Regularity and the Axiom of Infinity, but it does not depend on the Axiom of Choice. See also kardval2 35625. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardval	⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem kardval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴))
2	1	abbidv 2831	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
3	2	scotteqd 9866	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
4		df-kard 35622	. . 3 ⊢ kard = (𝑦 ∈ V ↦ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦})
5		scottex 9869	. . 3 ⊢ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6993	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
7		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
8		scott0 9872	. . . 4 ⊢ Scott ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr4di 2818	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott ∅)
10		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
11	10	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
12		encv 8957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
13	11, 12	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
14	13	alrimiv 1960	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
15		ab0 4336	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
17	16	scotteqd 9866	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = Scott ∅)
18	9, 17	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
19	6, 18	pm2.61i 184	1 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  Vcvv 3457  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540   ≈ cen 8946  Scott cscott 9864  kardckard 35621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-en 8950  df-r1 9743  df-rank 9744  df-scott 9865  df-kard 35622

This theorem is used by:  kardval2  35625  kardeq0  35628  kardeng  35629  kardnnfi  35641  rankkardu  35643