Theorem kardval 35681

Description: The value of the kard function. This theorem depends on the Axiom of Regularity and the Axiom of Infinity, but it does not depend on the Axiom of Choice. See also kardval2 35682. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardval	⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem kardval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴))
2	1	abbidv 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
3	2	scotteqd 9872	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
4		df-kard 35679	. . 3 ⊢ kard = (𝑦 ∈ V ↦ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦})
5		scottex 9875	. . 3 ⊢ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
7		fvprc 6871	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
8		scott0 9878	. . . 4 ⊢ Scott ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott ∅)
10		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
11	10	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
12		encv 8963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
13	11, 12	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
14	13	alrimiv 1960	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
15		ab0 4329	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
17	16	scotteqd 9872	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = Scott ∅)
18	9, 17	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
19	6, 18	pm2.61i 184	1 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533   ≈ cen 8952  Scott cscott 9870  kardckard 35678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-en 8956  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-kard 35679

This theorem is used by:  kardval2  35682  kardeq0  35685  kardeng  35686  kardnnfi  35698  rankkardu  35700