Theorem kardval 35565

Description: The value of the kard function. This theorem depends on the Axiom of Regularity and the Axiom of Infinity, but it does not depend on the Axiom of Choice. See also kardval2 35566. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardval	⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem kardval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴))
2	1	abbidv 2829	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
3	2	scotteqd 9859	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
4		df-kard 35563	. . 3 ⊢ kard = (𝑦 ∈ V ↦ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦})
5		scottex2 9867	. . 3 ⊢ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6989	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
7		fvprc 6873	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
8		scott0i 35519	. . . 4 ⊢ Scott ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott ∅)
10		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
11	10	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
12		encv 8947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
13	11, 12	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
14	13	alrimiv 1957	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
15		ab0 4336	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
17	16	scotteqd 9859	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = Scott ∅)
18	9, 17	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
19	6, 18	pm2.61i 184	1 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936  Scott cscott 9853  kardckard 35562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-en 8940  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854  df-kard 35563

This theorem is referenced by:  kardval2  35566  kardeq0  35569  kardnnfi  35582  rankkardu  35584