Theorem kardval 35961

Description: The value of the kard function. This theorem depends on the Axiom of Regularity and the Axiom of Infinity, but it does not depend on the Axiom of Choice. See also kardval2 35962. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardval	⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem kardval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴))
2	1	abbidv 2829	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
3	2	scotteqd 9967	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
4		df-kard 35959	. . 3 ⊢ kard = (𝑦 ∈ V ↦ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦})
5		scottex 9970	. . 3 ⊢ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
7		fvprc 6908	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
8		scott0 9973	. . . 4 ⊢ Scott ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott ∅)
10		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
11	10	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
12		encv 9019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
13	11, 12	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
14	13	alrimiv 1962	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
15		ab0 4332	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
17	16	scotteqd 9967	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = Scott ∅)
18	9, 17	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
19	6, 18	pm2.61i 184	1 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566   ≈ cen 9008  Scott cscott 9965  kardckard 35958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-reg 9623  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-en 9012  df-r1 9805  df-rank 9806  df-scott 9966  df-kard 35959

This theorem is used by:  kardval2  35962  kardeq0  35965  kardeng  35966  kardnnfi  35978  rankkardu  35980