Theorem kardval 35891

Description: The value of the kard function. This theorem depends on the Axiom of Regularity and the Axiom of Infinity, but it does not depend on the Axiom of Choice. See also kardval2 35892. (Contributed by BTernaryTau, 3-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
kardval	⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem kardval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑥 ≈ 𝐴))
2	1	abbidv 2829	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
3	2	scotteqd 9940	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦} = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
4		df-kard 35889	. . 3 ⊢ kard = (𝑦 ∈ V ↦ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝑦})
5		scottex 9943	. . 3 ⊢ Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7001	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
7		fvprc 6885	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = ∅)
8		scott0 9946	. . . 4 ⊢ Scott ∅ = ∅
9	7, 8	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott ∅)
10		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
11	10	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
12		encv 8992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 𝐴 → (𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
13	11, 12	nsyl 141	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
14	13	alrimiv 1961	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
15		ab0 4331	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
16	14, 15	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = ∅)
17	16	scotteqd 9940	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴} = Scott ∅)
18	9, 17	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
19	6, 18	pm2.61i 184	1 ⊢ (kard‘𝐴) = Scott {𝑥 ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741  Vcvv 3453  ∅c0 4280   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546   ≈ cen 8981  Scott cscott 9938  kardckard 35888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-reg 9596  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-en 8985  df-r1 9778  df-rank 9779  df-scott 9939  df-kard 35889

This theorem is used by:  kardval2  35892  kardeq0  35895  kardeng  35896  kardnnfi  35908  rankkardu  35910